الدرس 2 - النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي

النسبة والتناسب

النسبة بين كميتين من النوع نفسه ولهما وحدة القياس نفسها هي قسمة إحداهما على الأخرى، وتكتب على الصورة أ : ب أو أ ÷ ب.
ولا نقارن كميتين إلا بعد توحيد وحدتيهما، فالنسبة بين 45 سم و1.5 م ليست 45 : 1.5، بل نحول المتر إلى 150 سم فتصبح 45 : 150 = 3 : 10.
التناسب هو تساوي نسبتين أو أكثر، فإذا كانت أ ÷ ب = ج ÷ د فإن الأعداد أ، ب، ج، د تسمى أعداداً متناسبة.
ويسمى الحدان الأول والرابع (أ، د) طرفي التناسب، ويسمى الحدان الثاني والثالث (ب، ج) وسطي التناسب.
قانون الطرفين والوسطين إذا كانت أ ÷ ب = ج ÷ د فإن حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين، أي أ × د = ب × ج.
ونستخدم هذا القانون لإيجاد مجهول في التناسب.
فإذا كانت س ÷ 6 = 10 ÷ 15 فإن 15 س = 6 × 10، ومنها س = 4.
وهذا هو الأساس في حل كل مسائل التناسب المباشرة.

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 1 / 8

خواص التناسب

إذا كانت أ ÷ ب = ج ÷ د
مع العلم أن ب ≠ 0 و د ≠ 0
فإن الخواص الآتية صحيحة
ويمكن إثبات كل منها من قانون الطرفين والوسطين:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
التبديل بين الوسطين	أ ÷ ج = ب ÷ د
التبديل بالقلب	ب ÷ أ = د ÷ ج
خاصية التركيب	(أ + ب) ÷ ب = (ج + د) ÷ د
خاصية التفريق	(أ − ب) ÷ ب = (ج − د) ÷ د
مجموع المقدمات على مجموع التوالي	(أ + ج) ÷ (ب + د) = أ ÷ ب
•	والخاصية الأخيرة تعمم على أكثر من نسبتين فإذا كانت أ ÷ ب = ج ÷ د = هـ ÷ و فإن (أ + ج + هـ) ÷ (ب + د + و) تساوي النسبة نفسها	والخاصيةالأخيرةتعممأكثر
•	وتفيد هذه الخاصية في إيجاد مجموع أحد الحدود دون معرفة كل حد على حدة	وتفيدالخاصيةإيجادمجموع
ولإثبات خاصية التركيب مثلاً	نفرض أن أ = ب × ك ومن التناسب يكون ج = د × ك. عندئذ (أ + ب) ÷ ب = (بك + ب) ÷ ب = ك + 1 و(ج + د) ÷ د = (دك + د) ÷ د = ك + 1 وهما متساويان	نفرضالتناسبيكونعندئذ
التناسب بثابت	إذا كانت أ ÷ ب = ج ÷ د = ك فإن أ = ك ب و ج = ك د. وهذه الصورة تسهل التعويض في المسائل التي تعطي النسبة ولا تعطي الحدود	كانتوهذهالصورةتسهل

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 2 / 8

التناسب المتسلسل والوسط المتناسب

يقال إن الأعداد أ، ب، ج في تناسب متسلسل إذا كانت أ ÷ ب = ب ÷ ج.
ويسمى العدد ب الوسط المتناسب بين أ وج.
وبتطبيق قانون الطرفين والوسطين نحصل على ب² = أ × ج، ومنها ب = ±√(أ × ج).
ونلاحظ أن الوسط المتناسب بين عددين موجبين يكون موجباً، لذلك نأخذ الجذر الموجب إذا كانت الأعداد موجبة.
فالوسط المتناسب بين 4 و36 هو √(4 × 36) = √144 = 12.
وإذا كانت أ ÷ ب = ب ÷ ج = ك (ثابت)، فإن ب = ك ج، وأ = ك ب = ك² ج. أي يمكن كتابة الحدود الثلاثة بدلالة الحد الأخير ج والثابت ك.
ويمتد المفهوم إلى أربعة أعداد أو أكثر في تناسب متسلسل، فإذا كانت أ ÷ ب = ب ÷ ج = ج ÷ د فإن ب² = أ × ج، وج² = ب × د.

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 3 / 8

التغير الطردي

يكون المتغيران y وx في تغير طردي إذا كان حاصل قسمة y على x ثابتاً لا يتغير، وتكتب العلاقة على الصورة y = m x، حيث m ثابت حقيقي لا يساوي صفراً يسمى ثابت التغير، وقيمته m = y ÷ x.

إذا تضاعفت x تتضاعف y، وإذا قلت x إلى النصف تقل y إلى النصف.
إذا كانت (x₁، y₁) و(x₂، y₂) نقطتين على العلاقة فإن y₁ ÷ x₁ = y₂ ÷ x₂، أي y₁ ÷ y₂ = x₁ ÷ x₂.
التمثيل البياني خط مستقيم يمر بنقطة الأصل (0، 0).
من أمثلته في الحياة المسافة والزمن عند ثبوت السرعة (ف = ع × ز)، وثمن الشراء وعدد الوحدات عند ثبوت سعر الوحدة.
تنبيه مهم العلاقة y = 2x + 3 ليست تغيراً طردياً، لأن y ÷ x لا تساوي ثابتاً (فعند x = 1 تكون y = 5 فتكون النسبة 5، وعند x = 2 تكون y = 7 فتكون النسبة 3.5)، ولأن تمثيلها لا يمر بنقطة الأصل.

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 4 / 8

التغير العكسي والمقارنة بين النوعين

يكون المتغيران في تغير عكسي إذا كان حاصل ضربهما ثابتاً، أي كلما زادت x نقصت y بالنسبة نفسها.
وتكتب العلاقة على الصورة y = m ÷ x، أو x × y = m، حيث m ثابت لا يساوي صفراً، وقيمته m = x × y.

النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير: خزان ماء تملؤه مضخات متماثلة: مضختان في 6 ساعات و4 مضخات في 3 ساعات في تغير عكسي وحاصل الضرب 12.

إذا تضاعفت x تنصف y، وإذا نصفت x تتضاعف y.
إذا كانت (x₁، y₁) و(x₂، y₂) نقطتين على العلاقة فإن y₁ ÷ y₂ = x₂ ÷ x₁.
التمثيل البياني منحنى من فرعين لا يمر بنقطة الأصل، ولا يقطع أي من المحورين.
من أمثلته الزمن اللازم لقطع مسافة ثابتة وفق السرعة، وعدد العمال والزمن اللازم لإنجاز عمل ثابت.
طريقة تحديد نوع التغير من جدول نحسب y ÷ x لكل عمود، فإذا كانت النتيجة ثابتة فالتغير طردي، وإذا لم تكن كذلك نحسب x × y، فإذا كان الناتج ثابتاً فالتغير عكسي، وإذا لم يتحقق أي منهما فالعلاقة ليست تغيراً.

وجه المقارنة	التغير الطردي	التغير العكسي
الصيغة الرياضية	y = m x	y = m ÷ x
ثابت التغير	m = y ÷ x	m = x × y
عند مضاعفة x	تتضاعف y	تنصف y
التمثيل البياني	مستقيم يمر بنقطة الأصل	منحنى لا يمر بنقطة الأصل

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 5 / 8

أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الأول	اكتب النسبة بين 45 سم و1.5 م في أبسط صورة	اكتبالنسبةأبسطصورة
الحل	نحول المتر إلى سنتيمترات: 1.5 م = 150 سم. إذن النسبة هي 45 : 150. نقسم الطرفين على 15 فتصبح 3 : 10	نحولالمترسنتيمتراتالنسبة
المثال الثاني	حل التناسب: س ÷ 6 = 10 ÷ 15	التناسب
الحل	بقانون الطرفين والوسطين: 15 × س = 6 × 10 = 60 ومنها س = 4. والتحقق: 4 ÷ 6 = 2 ÷ 3 و10 ÷ 15 = 2 ÷ 3 وهما متساويتان	بقانونالطرفينوالوسطينومنها
المثال الثالث	إذا كانت أ ÷ ب = ج ÷ د = 2 ÷ 3 وكان أ + ج = 20 فأوجد ب + د	كانتوكانفأوجد
الحل	نستخدم خاصية مجموع المقدمات على مجموع التوالي: (أ + ج) ÷ (ب + د) = 2 ÷ 3. إذن 20 ÷ (ب + د) = 2 ÷ 3 ومنها 2 × (ب + د) = 60 فيكون ب + د = 30. والتحقق بأعداد تحقق الشروط: أ = 12 ب = 18 ج = 8 د = 12 فيكون أ + ج = 20 وب + د = 30 والنسب 12 ÷ 18 = 8 ÷ 12 = 2 ÷ 3	نستخدمخاصيةمجموعالمقدمات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الرابع	ثلاثة أعداد موجبة في تناسب متسلسل مجموعها 21 وحاصل ضربها 216. أوجد الأعداد	ثلاثةأعدادموجبةتناسب
الحل	نفرض الأعداد ب ÷ ر و ب و ب × ر حيث ر هو ثابت التناسب لأن (ب ÷ ر) ÷ ب = ب ÷ (ب ر) = 1 ÷ ر. حاصل الضرب: ب³ = 216 فيكون ب = 6. ومن المجموع: 6 ÷ ر + 6 + 6ر = 21 أي 6 (ر + 1 ÷ ر) = 15 إذن ر + 1 ÷ ر = 5 ÷ 2 فتصبح 2ر² − 5ر + 2 = 0 وتحللها إلى (2ر − 1)(ر − 2) = 0. نأخذ ر = 2 فتكون الأعداد 3 و6 و12 أو ر = 1 ÷ 2 فتعطي الأعداد نفسها بترتيب معكوس. والتحقق: 3 + 6 + 12 = 21 و3 × 6 × 12 = 216 و3 ÷ 6 = 6 ÷ 12	نفرضالأعدادثابتالتناسب
المثال الخامس	الجدول الآتي يوضح قيم x وy: x: 2 y: 3 12. هل y تتغير طردياً مع x؟ وإذا كان كذلك فأوجد y عندما x = 10	الجدولالآتييوضحتتغير

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الحل	نحسب y ÷ x لكل عمود: 3 ÷ 2 = 1.5 و6 ÷ 4 = 1.5 و12 ÷ 8 = 1.5. النسبة ثابتة إذن التغير طردي ويكون m = 1.5 والعلاقة y = 1.5x. عندما x = 10 تكون y = 15	نحسبعمودالنسبةثابتة
المثال السادس	ثمن 5 أقلام متماثلة 12.5 جنيه. فكم جنيهاً يكون ثمن 14 قلماً بالسعر نفسه؟	أقلاممتماثلةجنيهجنيها
الحل	الثمن يتغير طردياً مع عدد الأقلام والثابت هو ثمن القلم الواحد: m = 12.5 ÷ 5 = 2.5 جنيه. إذن ثمن 14 قلماً = 2.5 × 14 = 35 جنيهاً	الثمنيتغيرطردياالأقلام
المثال السابع	إذا كانت y تتغير عكسياً مع x وكانت y = 6 عندما x = 5. أوجد y عندما x = 10 ثم أوجد x عندما y = 2.5	كانتتتغيرعكسياوكانت
الحل	ثابت التغير m = x × y = 5 × 6 = 30 والعلاقة y = 30 ÷ x. عندما x = 10 تكون y = 3. وعندما y = 2.5 تكون x = 30 ÷ 2.5 = 12. والتحقق: 12 × 2.5 = 30	ثابتالتغيروالعلاقةعندما

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الثامن	يلزم 6 عمال لإنجاز عمل في 20 يوماً بافتراض أن العمال متساوون في الإنتاج. فكم عاملاً يلزم لإنجاز العمل نفسه في 15 يوماً؟	يلزمعماللإنجازيوما
الحل	عدد العمال يتغير عكسياً مع عدد الأيام لأن حاصل ضربهما ثابت وهو مقدار العمل: 6 × 20 = 120. إذن 15 × n = 120 ومنها n = 8 عمال. والتحقق: 8 × 15 = 120	العماليتغيرعكسياالأيام

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 6 / 8

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مقارنة وحدتين مختلفتين	كتابة النسبة بين 45 سم و2 م على أنها 45 : 2 دون تحويل الوحدات. والصحيح 45 : 200 = 9 : 40	كتابةالنسبةأنهاتحويل
الخلط في قانون الطرفين والوسطين	كتابة أ × ج = ب × د بدلاً من أ × د = ب × ج. يجب ضرب كل طرف في الطرف المقابل له في الترتيب	كتابةبدلاالمقابلالترتيب
اعتبار كل علاقة خطية تغيراً طردياً	العلاقة y = 2x + 3 ليست تغيراً طردياً لأنها لا تمر بنقطة الأصل ونسبة y إلى x ليست ثابتة	العلاقةليستلأنهابنقطة
الخطأ في اتجاه التغير العكسي	كتابة y = m x لعلاقة عكسية أو القول بأن زيادة x تزيد y. الصحيح أن زيادة x تنقص y بالنسبة نفسها	كتابةلعلاقةعكسيةالقول
إغفال الجذر السالب في الوسط المتناسب	عند حل ب² = أ × ج نكتب ب = ±√(أ × ج) ما لم تذكر في السؤال أن الأعداد موجبة	نكتبتذكرالسؤالالأعداد

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 7 / 8

ملخص الدرس

النسبة بين كميتين لهما الوحدة نفسها هي قسمة إحداهما على الأخرى، ويجب توحيد الوحدات أولاً.
إذا كانت أ ÷ ب = ج ÷ د فإن أ × د = ب × ج، وأ ÷ ج = ب ÷ د، وب ÷ أ = د ÷ ج.
خاصية مجموع المقدمات على مجموع التوالي (أ + ج) ÷ (ب + د) = أ ÷ ب إذا كانت النسبتان متساويتين.
التناسب المتسلسل أ ÷ ب = ب ÷ ج يعطي ب² = أ × ج، والوسط المتناسب ب = ±√(أ × ج).
التغير الطردي y = m x، وثابته m = y ÷ x، ويمثل بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل.
التغير العكسي y = m ÷ x، وثابته m = x × y، ويمثل بمنحنى لا يمر بنقطة الأصل.

النوع	القانون	الشرط المميز
تناسب	أ ÷ ب = ج ÷ د	تساوي نسبتين
تناسب متسلسل	أ ÷ ب = ب ÷ ج	ب² = أ × ج
تغير طردي	y = m x	y ÷ x ثابت
تغير عكسي	y = m ÷ x	x × y ثابت

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 8 / 8

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الثالث الإعدادي