• عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه (a ≠ 0) نبقي الأساس ونطرح الأسين.
• a^m ÷ aⁿ = a^m−n

1. نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.
2. إذا كانت المعاملات أعدادًا فنقسمها كالمعتاد.
3. القسمة على الصفر غير معرفة، لذلك نشترط a ≠ 0.

✍️ أمثلة محلولة

29 ÷ 25 = 24

2⁴ = 16

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة 10⁶ ÷ 10².
2. الحل:

6 − 2 = 4

106 ÷ 102 = 104 = 10000

1. طرح الأسين بترتيب معكوس.
2. قسمة الأسين بدل طرحهما.
3. نسيان أن b تساوي b¹ عند الطرح.

1. عند رفع حاصل ضرب إلى أس يُرفع كل عامل إلى هذا الأس.
2. (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

(ab)3 = (ab)(ab)(ab) = a3b3

• لأن الضرب إبدالي.

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (3a²b)⁴.
2. الحل:

3⁴ = 81

(a²)⁴ = a⁸

1. b⁴ تبقى كما هي.
2. 81a⁸b⁴

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (−2x²)³.
2. الحل:

(−2)³ = −8

(x²)³ = x⁶

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (2x³y)² × (xy)³.
2. الحل:

(2x3y)2 = 4x6y2

• نزيل الأقواس بقانون قوة القوة وقوة الضرب.
• نضرب المعاملات ونقسمها.
• نجمع أسس الضرب ونطرح أسس القسمة لكل رمز.
• نذكر الشرط (x ≠ 0 …) إذا ظهر رمز في المقام.
• تذكر عند توحيد الأساس نكتب 9 = 3² و 27 = 3³ و 4 = 2² و 8 = 2³.

✍️ أمثلة محلولة

x⁶ ÷ x = x⁵

y³ ÷ y² = y

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (a³b)² × (ab²)³.
2. الحل:

(a3b)2 = a6b2

(ab2)3 = a3b6

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر 9ⁿ × 3²ⁿ⁻¹ ÷ 27ⁿ.
2. الحل:

ⁿ = 3²ⁿ

ⁿ = 3³ⁿ

• البسط:

n × 32n-1 = 34n-1

• القسمة:

1. نسيان توزيع الأس على المعامل.
2. طرح الأسس بالترتيب المعكوس.
3. ترك الناتج بأسس سالبة دون كتابتها بأسس موجبة.

1. في xⁿ = c نكتب c على صورة قوة بالأس نفسه n.
2. xⁿ = aⁿ

• إذا كان n فرديًا فإن x = a فقط.
• إذا كان n زوجيًا فإن x = a أو x = −a.
• لاحظ المعادلة x² = −9 ليس لها حل في ℝ لأن المربع لا يكون سالبًا.

✍️ أمثلة محلولة

1. حل x³ = 125.
2. الحل:

125 = 5³

x = 5

✍️ أمثلة محلولة

1. حل x⁴ = 81.
2. الحل:

81 = 3⁴

• الأس زوجي.

x = 3 أو x = −3

✍️ أمثلة محلولة

(x – 1)2 = 49

1. .
2. الحل:

x − 1 = 7 أو x − 1 = −7

x = 8 أو x = −6

✍️ أمثلة محلولة

(x + 2)3 = -27

1. .
2. الحل:

−27 = (−3)³

x + 2 = −3

x = −5

1. نسيان الجذر السالب عند الأس الزوجي.
2. إهمال إشارة الجذر عند الأس الفردي.

a^m × aⁿ = a^m+n

a^m ÷ aⁿ = a^m−n

(a^m)ⁿ = a^mn

(ab)n = anbn

(a ÷ b)n = an ÷ bn

a⁰ = 1

a-n = 1 ÷ an

a^x = a^y ⟹ x = y (a > 0 ، a ≠ 1)

• .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#1e1b4b}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#1e1b4b}.egp-ex-p{padding:12px 16px}

اختبر نفسك على هذا الدرس

1. تم توزيع أسئلة بنك الدرس على نقاط الشرح أعلاه
2. وكل نقطة تحتها أسئلتها. ولحل البنك كاملًا في صفحة واحدة:

• ★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
• كتاب الشرح المفصل التناسب وتطبيقات النسبة
• الصف الأول الإعدادي / مرحلة الإعدادية | الوحدة الأولى – الأعداد والعمليات عليها | المنهج المصري الحديث 2026/2027
• 🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
• • فهم مفهوم النسبة كعلاقة مقارنة بين كميتين من نفس النوع ولهما نفس وحدات القياس، والتمييز بين النسبة والمعدل.
• • استيعاب خواص النسبة واختزالها إلى أبسط صورة ومقارنة النسب المتكافئة.
• • دراسة التناسب وخواصه الخمس الأساسية حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين ومقدم على مقدم يساوي تالٍ على تالٍ.
• • استيعاب التناسب المتسلسل وحساب الوسط المتناسب بين كميتين موجبتين (b = ±√(a × c)).

1. مفهوم النسبة وخواصها والمعدل الرياضي

• النسبة هي أساس التفكير الكمي والمقارنة في الرياضيات والحياة العملية.
• عند مقارنة وزنين أو طولين أو مبلغين ماليين، نقسم الكمية الأولى على الثانية.
• من أهم خواص النسبة:

1. المعدل هو المقارنة بين كميتين مختلفتين
2. وله دائماً وحدة تمييز مركبة
3. مثل استهلاك الوقود: (لتر / 100 كم) أو معدل ضخ المياه (لتر / ثانية)
4. وهو أساس دراسة السرعة والمعدلات الزمنية في علم التفاضل لاحقاً.

2. التناسب وخواصه الخمس والتناسب المتسلسل

3. التطبيقات الحياتية للتناسب: مقياس الرسم والتقسيم التناسبي والتركات

★ إثبات صحة متطابقة بالتناسب المتسلسل

★ مسألة مقياس الرسم والمسافة الحقيقية

• المعطيات والمطلوب خريطة مرسومة بمقياس رسم 1 : 250,000. إذا كانت المسافة بين مدينتين على الخريطة هي 6.4 cm. احسب المسافة الحقيقية بين المدينتين على أرض الواقع بالكيلومترات.
• خطوات الحل والبرهان الفيزيائي:
• [1] قانون مقياس الرسم مقياس الرسم = الطول في الرسم / الطول الحقيقي.
• [2] 1 / 250,000 = 6.4 cm / الطول الحقيقي.
• [3] الطول الحقيقي بالسنتيمتر = 6.4 × 250,000 = 1,600,000 cm.
• [4] للتحويل من سنتيمتر إلى كيلومتر، نقسم على 100,000 (لأن الكيلومتر = 1000 متر = 100,000 سم).
• [5] المسافة الحقيقية بالكيلومتر = 1,600,000 / 100,000 = 16 km.
• [6] الاستنتاج المسافة الحقيقية بين المدينتين تساوي 16 كيلومتراً.
• 💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ تذكر دائماً: للتحويل من سم إلى كم نقسم على 100,000، وللتحويل من كم إلى سم نضرب في 100,000!

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

• النسبة تكون بين كميتين من نفس النوع والوحدة، بينما المعدل بين كميتين من نوعين مختلفين وله وحدة تمييز.
• الوسط المتناسب بين عددين أ و جـ يساوي ±√(أ × جـ)، وإذا طلب الموجب فقط يحدد صراحة في السؤال.
• مقياس الرسم أكبر من 1 يدل على التكبير (مثل فحص الحشرات والخلايا)، وأصغر من 1 يدل على التصغير (مثل الخرائط والتصميمات الهندسية).
• مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب وهي مفتاح حل البراهين الرياضية.
• التقسيم التناسبي يعتمد على خطوتين إيجاد قيمة الجزء الواحد، ثم ضربها في أجزاء كل طرف.