• يتشابه مضلعان إذا تحقق شرطان معًا.

• الزوايا المتناظرة متساوية في القياس.
• أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
• يُرمز للتشابه بالرمز ~ فنكتب ABCD ~ XYZW. ترتيب الحروف مهم، لأنه يحدد الرؤوس المتناظرة: A تناظر X و B تناظر Y وهكذا.
• لاحظ يكفي لتشابه مضلعين أن يتحقق الشرطان معًا، فلا يكفي تساوي الزوايا فقط (المستطيل والمربع زواياهما قوائم لكنهما غير متشابهين).
• نسبة التشابه هي النسبة بين طولي ضلعين متناظرين:
• نسبة التشابه = طول ضلع في المضلع الأول ÷ طول الضلع المناظر في المضلع الثاني
• تذكر إذا كانت نسبة التشابه 1 : 1 فالمضلعان متطابقان.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 هل المستطيلان بُعدا الأول 4 سم و 6 سم وبُعدا الثاني 6 سم و 9 سم متشابهان؟
• الحل:
• الزوايا جميعها قوائم فهي متساوية.

• نسبة الأطوال المتناظرة:

4 ÷ 6 = 2 / 3

6 ÷ 9 = 2 / 3

1. النسبتان متساويتان.
2. 3.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 هل المستطيلان بُعدا الأول 3 سم و 5 سم وبُعدا الثاني 6 سم و 9 سم متشابهان؟
• الحل:

3 ÷ 6 = 1 / 2

(5 ÷ 9 ≠ 1) / 2

1. الأضلاع المتناظرة غير متناسبة.
2. إذن المستطيلان غير متشابهين.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 المضلع ABCD ~ XYZW حيث AB = 6 سم و XY = 9 سم و BC = 8 سم. أوجد YZ.
• الحل:

نسبة التشابه =

AB ÷ XY = 6 ÷ 9 = 2 / 3

BC ÷ YZ = 2 / 3

8 ÷ YZ = 2 / 3

YZ = (8 × 3) / 2 = 12

سم

• يمكن قياس الأطوال التي يصعب الوصول إليها باستخدام الظلال والمثلثات المتشابهة.

• النسب المثلثية للزاوية الحادة θ.

sin θ = المقابل ÷ الوتر

cos θ = المجاور ÷ الوتر

tan θ = المقابل ÷ المجاور

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 المثلث ABC قائم في B فيه AB = 8 سم و BC = 6 سم. أوجد النسب المثلثية للزاوية A.
• الحل:

AC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

AC = 10 سم

sin A = 6 ÷ 10 = 3 / 5

cos A = 8 ÷ 10 = 4 / 5

tan A = 6 ÷ 8 = 3 / 4

✍️ أمثلة محلولة

sin θ = 5 / 13

1. فأوجد cos θ و tan θ حيث θ حادة.
2. الحل:
3. المقابل = 5 والوتر = 13.

المجاور =

√(132 – 52) = √(169 – 25) = √144 = 12

cos θ = 12 / 13

tan θ = 5 / 12

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 في المثلث ABC القائم في B إذا كان cos C = 0.6 وكان AC = 20 سم. أوجد BC و AB.
• الحل:

cos C = BC ÷ AC

BC = 0.6 × 20 = 12

سم

AB = √(202 – 122) = √(400 – 144) = √256 = 16

سم

• نستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد النسبة لزاوية معلومة، وإيجاد الزاوية إذا عُلمت نسبتها.

• اضبط الآلة على نظام الدرجات (Degree).
• لإيجاد sin 25° اضغط sin ثم 25 ثم =.
• لإيجاد الزاوية نستخدم المفتاح الثاني shift ثم sin⁻¹ (أو cos⁻¹ أو tan⁻¹).
• لاحظ القيم التقريبية:

sin 25° ≈ 0.4226

و

cos 40° ≈ 0.7660

و

tan 70° ≈ 2.7475

• .

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة sin 25° و cos 40° لأقرب أربعة أرقام عشرية.
2. الحل:

sin 25° ≈ 0.4226

cos 40° ≈ 0.7660

1. أوجد قياس الزاوية θ حيث sin θ = 0.8 لأقرب درجة.
2. الحل:

θ = sin -1 (0.8) ≈ 53.13°

θ ≈ 53°

• مثال 3 مثلث قائم ضلعاه القائمان 3 سم و 4 سم. أوجد قياس الزاوية الحادة المقابلة للضلع 3 سم.
• الحل:

tan θ = 3 ÷ 4 = 0.75

θ = tan -1 (0.75) ≈ 36.87°

• مثال 4 سلم طوله 6 م يصنع زاوية 70° مع الأرض. ما ارتفاع النقطة التي يلمس بها الحائط؟
• الحل:

الارتفاع = 6 × sin 70°

sin 70° ≈ 0.9397

الارتفاع ≈ 5.64 م

• معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل وميله m هي:

y = mx

✍️ أمثلة محلولة

1. اكتب معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل وميله 3.
2. الحل:

y = 3x

• مثال 2 مستقيم يمر بنقطة الأصل والنقطة (4 ، 10). أوجد معادلته.
• الحل:

m = 10 ÷ 4 = 5 / 2

y = (5 / 2)x

1. هل النقطة (6 ، 15) تقع على المستقيم y = (5 / 2)x؟
2. الحل:

(5 / 2) × 6 = 15

1. إذن النقطة تقع على المستقيم.
2. الأخطاء الشائعة: إضافة مقطع للمستقيم المار بالأصل.

🔬 prep3_trigonometry_triangles

1. التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
2. عط هذ ممتتدنوء غممة عط مرمظ عمنات6ناوط 51 [1]
3. اكت
4. 1]62-4+م-
5. 8 +2204 2214-41-2
6. اال و00
7. دل 2-2-2-0
8. 2 1م22
9. و

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

| | 2026/2027 |

• 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• • تعريف النسب المثلثية الأساسية الثلاث للزاوية الحادة في المثلث القائم الزاوية (جا، جتا، ظا).
• • استنتاج العلاقة الرياضية بين زاويتين متتامتين sin θ = cos (90° – θ).
• • حفظ وتطبيق النسب المثلثية الدقيقة للزوايا الخاصة (30°, 45°, 60°).
• • استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قياس الزاوية بمعلومية إحدى نسبها المثلثية والعكس.
• ◄ أولاً تعريف النسب المثلثية في المثلث القائم وتطبيقات نظرية فيثاغورس
• تُعرّف النسب المثلثية حصرياً داخل المثلث القائم الزاوية؛ ففي المثلث \(ABC\) القائم في B، يمثل الضلع المقابل للزاوية القائمة "الوتر" وهو أطول أضلاع المثلث.
• وبالنسبة لأي زاوية حادة مثل زاوية A:
• – الضلع \(BC\) هو المقابل.
• – الضلع \(AB\) هو المجاور.
• – الضلع \(AC\) هو الوتر.
• وتحسب النسب مباشرة sin A = BC / AC، و cos A = AB / AC، و tan A = BC / AB. وتعد نظرية فيثاغورس (AC2 = AB2 + BC2) الأداة الحسابية المسبقة لحساب الضلع المجهول قبل إيجاد أي نسبة مثلثية.

• شكل توضيحي (prep3_trigonometry_triangles) شكل (3): النسب المثلثية في المثلث القائم والنسب المثلثية للزوايا الخاصة 30 و 45 و 60
• ◄ ثانياً العلاقة الذهبية بين الزوايا المتتامة (A + B = 90°)
• في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع الزاويتين الحادتين دائماً 90°، مما يجعلهما زاويتين متتامتين.
• ولأن ضلع المقابل للزاوية A هو نفسه ضلع المجاور للزاوية C، تنشأ القاعدة المثلثية الذهبية:
• "جيب أي زاوية حادة يساوي جيب تمام الزاوية المتممة لها":
• sin A = cos C و cos A = sin C.
• وعلى هذا الأساس sin 30° = cos 60° = 1 / 2، و sin 70° = cos 20°. وإذا ورد في الامتحان sin x = cos x، فإن ذلك يقتضي مباشرة أن الزاوية x = 45° لأن x + x = 90° ⇒ 2x = 90° ⇒ x = 45°.

1. المثلث الثلاثيني الستيني والمثلث المتساوي الساقين (الزوايا الخاصة)
2. تستنتج النسب المثلثية للزوايا الخاصة هندسياً دون الحاجة للحفظ الأعمى:
3. المثلث الثلاثيني الستيني (30° – 60°): الضلع المقابل للزاوية 30° يساوي نصف طول الوتر؛ فإذا فرضنا المقابل = 1 والوتر = 2، فإن الضلع المجاور لـ 30° (المقابل لـ 60°) يساوي √(22 – 12) = √3 بنظرية فيثاغورس، ومنها نستنتج نسب 30° و 60°.
4. المثلث القائم المتساوي الساقين (45° – 45°): يكون فيه طولا ضلعي القائمة متساويين (1 و 1)، والوتر يساوي √(12 + 12) = √2، ومنها sin 45° = 1 / √2 و cos 45° = 1 / √2 و tan 45° = 1 / 1 = 1.
5. 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):

• مثال نموذجي 1 مسألة نموذجية محلولة رقم 3 – إثبات متطابقة مثلثة بدون آلة حاسبة
• نص المسألة / السؤال المطلوب: بدون استخدام الآلة الحاسبة، أثبت صحة المتطابقة الآتية:
• cos 60° = 2cos ² 30° – 1.
• الحل بالخطوات الجبرية:
• 1) الطرف الأيمن (L.H.S):
• الطرف الأيمن = cos 60° = 1 / 2.
• 2) الطرف الأيسر (R.H.S):
• الطرف الأيسر = 2cos ² 30° – 1.
• بما أن cos 30° = √3 / 2:
• إذن cos 2 30° = (√3 / 2)2 = 3 / 4.
• بالتعويض الطرف الأيسر = 2 × 3 / 4 – 1 = 3 / 2 – 1 = 1 / 2.
• بما أن الطرف الأيمن = الطرف الأيسر = 1 / 2، إذن المتطابقة صحيحة ومثبتة تماماً.
• 💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets):
• ★ تكة امتحانية إذا كان sin x = cos y فإن الزاويتين متتامتان: x + y = 90°. فإذا كان sin 2x = cos 3x، فإن 2x + 3x = 90° ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18°.