• قد يتساوى الوسط لمجموعتين ويختلف تقارب قيمهما.
• التشتت الصغير يعني قيمًا متقاربة (تجانس).
• التشتت الكبير يعني قيمًا متباعدة.
• لاحظ إذا كانت كل قيم المجموعة متساوية فالتشتت صفر.
• علّل لا يكفي الوسط للمقارنة لأنه لا يخبرنا عن ابتعاد القيم عن المركز.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 لاعبان سجلا (5 ، 5 ، 5 ، 5) و (1 ، 9 ، 2 ، 8). هل يكفي الوسط لمقارنتهما؟
• الحل:

وسط الأول = 20 ÷ 4 = 5

وسط الثاني = 20 ÷ 4 = 5

1. الوسطان متساويان.
2. الأول ثابت المستوى والثاني متذبذب.
3. إذن نحتاج إلى مقياس للتشتت.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 درجات (68 ، 70 ، 72 ، 70 ، 70) و (40 ، 100 ، 70 ، 55 ، 85). ما وسط كل منهما؟
• الحل:

وسط الأولى =

350 ÷ 5 = 70

وسط الثانية =

350 ÷ 5 = 70

1. القيم الأولى متقاربة جدًا والثانية متباعدة.
2. التشتت في الثانية أكبر.

✍️ أمثلة محلولة

1. ما تشتت المجموعة 9 ، 9 ، 9 ، 9 ، 9؟
2. الحل:
3. كل القيم تساوي الوسط 9.
4. لا يوجد ابتعاد عن المركز.
5. التشتت يساوي صفرًا.
6. الأخطاء الشائعة:

1. الحكم على التجانس بالوسط وحده.
2. الاعتقاد بأن التشتت الأكبر يعني قيمًا أكبر.

• المدى الربيعي هو الفرق بين الربيع الأعلى والربيع الأدنى، وهو مدى النصف الأوسط من البيانات.
• IQR = Q₃ – Q₁

• لا يتأثر بالقيم الشاذة كما يتأثر المدى.
• يقيس تشتت نصف البيانات الوسطى.
• علّل المدى الربيعي أفضل من المدى عند وجود قيمة شاذة لأنه يتجاهل القيم الطرفية.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد المدى الربيعي للقيم التسع في 4-1-5.
2. الحل:

IQR = 16.5 – 7.5

= 9

• مثال 2 أوجد المدى والمدى الربيعي للقيم 3 ، 5 ، 6 ، 9 ، 11 ، 12 ، 15 ، 17.
• الحل:

المدى = 17 − 3 = 14

IQR = 13.5 – 5.5 = 8

✍️ أمثلة محلولة

الوسيط = 25

Q₁ = 22

Q₃ = 28

IQR = 28 – 22 = 6

1. اعتبار المدى الربيعي الفرق بين أكبر وأصغر قيمة.
2. طرح Q₃ من Q₁ بدل العكس.

1. نمثل كل مجموعة بمركزها ثم نطبق قانوني التوزيع التكراري.
2. مركز المجموعة = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2

• نحسب المراكز.
• نكمل الجدول كما في التوزيع البسيط.
• علّل نستخدم المراكز لأن القيم الفعلية داخل المجموعة غير معلومة فنمثلها بقيمة وسطى.

✍️ أمثلة محلولة

Σf = 20

Σ f x = 470

x̄ = 23.5

المجموع = 2055

σ = √102.75 ≈ 10.14

✍️ أمثلة محلولة

Σ f x = 4270

x̄ = 85.4

مجموع f(x − x̄)² = 6792

σ = √135.84 ≈ 11.66

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 المجموعات 0 – ، 10 – ، 20 – ، 30 – 40 بتكرارات 4 ، 6 ، 7 ، 3.
• الحل:

Σ f x = 390

x̄ = 19.5

المجموع = 1895

σ = √94.75 ≈ 9.73

1. استخدام الحد الأدنى بدل المركز.
2. نسيان تكرار كل مجموعة.

• المدى والانحراف المعياري يتأثران بالقيم الشاذة أكثر من المدى الربيعي.
• القيمة الشاذة بعيدة جدًا عن باقي البيانات.
• عند وجودها نفضّل المدى الربيعي مع الوسيط.
• لاحظ كل قيمة تدخل في حساب الانحراف المعياري فتؤثر القيمة الشاذة فيه بقوة.

✍️ أمثلة محلولة

40 – 10 = 30

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

σ = √3.6 ≈ 1.90

σ = √123.6 ≈ 11.12

1. الانحراف زاد بشدة.
2. الأخطاء الشائعة:
3. حذف القيمة الشاذة دون مبرر.
4. الاعتماد على المدى وحده عند وجود قيمة شاذة.

• .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#1e1b4b}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#1e1b4b}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

اختبر نفسك على هذا الدرس

1. تم توزيع أسئلة بنك الدرس على نقاط الشرح أعلاه
2. وكل نقطة تحتها أسئلتها. ولحل البنك كاملًا في صفحة واحدة:

• ★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
• كتاب الشرح المفصل تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية
• المرحلة الإعدادية والثانوية | الوحدة الرابعة – الإحصاء | المنهج المصري الحديث 2026/2027
• 🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
• • فهم أساليب جمع البيانات وتنظيمها في جداول تكرارية بسيطة وجداول ذات مجموعات وتفريغها بيانياً.
• • حساب مقاييس النزعة المركزية الثلاثة للبيانات المفردة والمبوبة: الوسط الحسابي (Mean)، الوسيط (Median)، والمنوال (Mode).
• • التمييز بين خصائص كل مقياس ومتى يفضل استخدام أحدهما على الآخر وتأثير القيم المتطرفة (Outliers).
• • حساب مقاييس التشتت المدى (Range)، والانحراف المعياري (Standard Deviation – σ)، والتباين (Variance – σ²).

• • التمثيل البياني بالمنحنى التكراري المتجمع الصاعد والهابط وتعيين الوسيط هندسياً من نقطة التقاطع.

1. تنظيم البيانات الإحصائية والجداول التكرارية

2. مقاييس النزعة المركزية: الوسط والوسيط والمنوال وتأثير القيم المتطرفة

• مقاييس النزعة المركزية تعبر عن القيمة الوسطية أو النموذجية التي تتجمع حولها باقي البيانات:

3. مقاييس التشتت: المدى والتباين والانحراف المعياري وتطبيقاتها

• مقاييس النزعة المركزية وحدها غير كافية لوصف البيانات؛ فقد يكون لمجموعتين نفس الوسط الحسابي (مثلاً 50) ولكن إحداهما درجاتها متقاربة ومتجانسة (49, 50, 51) والأخرى متباعدة ومتشتتة (10, 50, 90).
• هنا نحتاج لمقاييس التشتت:

• جدول مقارنة بين مقاييس النزعة المركزية الثلاثة
• ✏️ أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي:
• ★ حساب الوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري لمجموعة درجات
• المعطيات والمطلوب احسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى والانحراف المعياري لمجموعة القيم الآتية: 8، 9، 7، 6، 5.
• خطوات الحل والبرهان الفيزيائي:
• [1] أولاً الوسط الحسابي x̄: مجموع القيم = 8 + 9 + 7 + 6 + 5 = 35. عدد القيم n = 5.
• [2] x̄ = 35 / 5 = 7.
• [3] ثانياً الوسيط: نرتب القيم تصاعدياً: 5، 6، 7، 8، 9. عدد القيم 5 (فردي)، ترتيب الوسيط هو (5+1)/2 = الثالث.
• [4] الوسيط = 7.
• [5] ثالثاً المنوال: لا يوجد منوال لعدم تكرار أي قيمة.
• [6] رابعاً المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة = 9 – 5 = 4.
• [7] خامساً الانحراف المعياري σ: نحسب مربعات الانحرافات عن الوسط (x – x̄)²:
• [8] (5 – 7)² = (-2)² = 4.
• [9] (6 – 7)² = (-1)² = 1.
• [10] (7 – 7)² = 0² = 0.
• [11] (8 – 7)² = 1² = 1.
• [12] (9 – 7)² = 2² = 4.
• [13] مجموع مربعات الانحرافات Σ(x – x̄)² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.
• [14] الانحراف المعياري σ = √[ 10 / 5 ] = √2 ≈ 1.414.
• 💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ تذكر: إذا كانت جميع القيم متساوية فإن الانحراف المعياري σ = 0 دائماً!

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

• الوسط الحسابي يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة، بينما الوسيط لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
• المنوال هو المقياس الوحيد الذي يصلح للبيانات الوصفية الاسمية.
• الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.
• إذا كان الانحراف المعياري يساوي صفراً، فهذا يعني أن جميع مفردات المجموعة متساوية القيمة.
• المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة، والتباين = مربع الانحراف المعياري (σ²).

• الانحراف المعياري هو الجذر الموجب لمعدل مربعات بُعد كل قيمة عن الوسط الحسابي للمجموعة.
• يُرمز للانحراف المعياري بالحرف سيجما، وهو أدق مقاييس التشتت وأكثرها استخدامًا.
• كلما صغرت قيمة الانحراف المعياري دلّ ذلك على تقارب القيم، وكلما كبرت دلّ على تباعدها.
• لحساب الانحراف المعياري لمجموعة قيم نحسب أولًا وسطها الحسابي، ثم نحسب انحراف كل قيمة عنه ونربّعه، ثم نكمل الحساب.
• المدى الربيعي لا يأخذ كل القيم في حسابه، لأنه يعتمد على الربيعين الأدنى والأعلى فقط.