• نقطة (p ، q) تقع على منحنى الدالة f إذا وفقط إذا كان f(p) = q.
• f(p) = q

1. نعوض قيمة x في القاعدة.
2. نضع الأقواس حول الأعداد السالبة.
3. (−2)² = 4 بينما −2² = −4.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 2x2 – 3x + 1

1. فأوجد f(−2).
2. الحل:

f(-2) = 2 × (-2)2 – 3 × (-2) + 1

= 2 × 4 + 6 + 1

= 15

f(x) = x2 – 5

1. ؟
2. الحل:

f(3) = 9 – 5

= 4

1. الصورة تساوي 4.
2. إذن النقطة (3 ، 4) على المنحنى.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 4x2 – 2x

1. فأوجد f(1 / 2).
2. الحل:

f(1 / 2) = 4 × (1 / 4) – 2 × (1 / 2)

= 1 − 1

= 0

1. كتابة −2² = 4.
2. نسيان ضرب المعامل في المربع.
3. الحكم على النقطة دون تعويض.

في

f(x) = ax2 + bx + c

تكون

h = -b ÷ (2a)

• و k = f(h).

h = -b ÷ (2a)

k = f(h)

1. نحسب h ثم نعوضها في الدالة.
2. أو نحول الدالة إلى صيغة الرأس بإكمال المربع.
3. ابدأ دائمًا بإشارة b الأصلية: h = −b ÷ 2a.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 – 6x + 5

1. .
2. الحل:

h = 6 ÷ 2 = 3

k = 9 – 18 + 5 = -4

1. الرأس (3 ، −4) والقيمة الصغرى −4.
2. (x − 3)² − 4 ✓

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = -x2 + 4x + 1

1. .
2. الحل:

h = -4 ÷ (-2) = 2

k = -4 + 8 + 1 = 5

• القيمة العظمى 5 عند x = 2.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 2x2 + 8x + 3

1. .
2. الحل:

h = -8 ÷ 4 = -2

k = 2 × 4 – 16 + 3 = -5

1. الرأس (−2 ، −5) والقيمة الصغرى −5.
2. الأخطاء الشائعة:

1. نسيان إشارة b في القانون.
2. إيجاد h دون k.
3. ذكر القيمة العظمى مع a موجبة.

إذا تعذر التحليل نكتب الدالة بصيغة الرأس ثم نحل

(x – h)2 = c

• .

(x – h)2 = c

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x – 1)2 – 4

1. .
2. الحل:

(x – 1)2 = 4

x − 1 = 2 أو x − 1 = −2

x = 3 أو x = −1

{3 ، −1}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 – 4x – 5

1. بإكمال المربع.
2. الحل:

x2 – 4x – 5 = (x – 2)2 – 9

(x – 2)2 = 9

x − 2 = ±3

x = 5 أو x = −1

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 + 2x – 8

1. بإكمال المربع.
2. الحل:

(x + 1)2 – 9 = 0

x + 1 = ±3

x = 2 أو x = −4

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 – 6x + 10

1. .
2. الحل:

(x – 3)2 + 1 = 0

(x – 3)2 = -1

• لا حل حقيقي.

مجموعة الأصفار ∅

1. نسيان الجذر السالب.
2. خطأ في إكمال المربع (نصف معامل x ثم تربيعه).

• أصفار الدالة هي أصفار البسط التي تنتمي إلى المجال.

• نوجد المجال الأصلي.
• نحل البسط = 0.
• نستبعد أي حل خارج المجال.
• علّل قد يكون صفر البسط ليس صفرًا للدالة لأنه قد يكون أيضًا صفرًا للمقام فيقع خارج المجال.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x2 – 4) ÷ (x – 2)

1. .
2. الحل:

المجال ℝ − {2}

x² − 4 = 0 فإن x = 2 أو x = −2

• x = 2 خارج المجال.

الأصفار {−2}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x2 – x – 6) ÷ (x2 – 9)

1. .
2. الحل:

البسط (x − 3)(x + 2) والمقام (x − 3)(x + 3)

المجال ℝ − {3 ، −3}

1. x = 3 أو x = −2 أصفار البسط.
2. x = 3 خارج المجال.

الأصفار {−2}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x2 + 1) ÷ (x – 1)

1. .
2. الحل:
3. x² + 1 = 0 لا حل حقيقي له.

∅

1. اعتبار كل أصفار البسط أصفارًا للدالة.
2. استخدام المجال المبسط.

• نحلل البسوط والمقامات ونختصر ثم نضرب، ونستبعد من المجال أصفار المقامات.
• (a / b) × (c / d) = ac ÷ bd

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد (x² − 9) ÷ (x + 1) × (x + 1) ÷ (x − 3).
2. الحل:

(x − 3)(x + 3) ÷ (x + 1) × (x + 1) ÷ (x − 3)

= x + 3

المجال ℝ − {−1 ، 3}

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد (x² − 1) ÷ (x² + 2x) × x ÷ (x + 1).
2. الحل:

(x − 1)(x + 1) ÷ (x(x + 2)) × x ÷ (x + 1)

= (x − 1) ÷ (x + 2)

المجال ℝ − {0 ، −2 ، −1}

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد 2x ÷ (x − 3) × (x² − 9) ÷ (4x).
2. الحل:

x(x − 3)(x + 3) ÷ ((x − 3) × 4x)

= (x + 3) ÷ 2

المجال ℝ − {3 ، 0}

1. اختصار حدود وليس عوامل.
2. نسيان استبعاد القيم التي اختصرت.

🔬 prep3_cartesian_and_quadratic_graph

• التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:

كناط101 3 15 0[ قلق ‎٠:‏

• ‏(مانكط ‎١‏ ) م ع (قانكى 4 ) جع ..

اددعةق.٠‏

5 خعة 5

180 – (2ع8 ) مع (8 ى) ده

180 بعد بر 23

: (2) هذ (1) دده عمتانغتاوطنام

• د كا .

150 0

ا لا رلك

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

| | 2026/2027 |

• 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• • استيعاب مفهوم الزوج المرتب $(a, b)$ وشرط تساوي زوجين مرتبين وحل المعادلات الناتجة.
• • إيجاد حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين منتهيتين X × Y وتمثيله بالمخطط السهمي والبياني.
• • تحديد مفهوم العلاقة والتمييز بين العلاقة والدالة وتحديد المجال والمجال المقابل والمدى.
• • دراسة الدوال كثيرة الحدود (الدالة الخطية، الدالة الثابتة، والدالة التربيعية وتمثيلها البياني ونقطة رأس المنحنى).
• ◄ أولاً الجبر الديكارتي وتساوي الأزواج المرتبة

• يمثل الزوج المرتب اللبنة الأساسية للهندسة التحليلية والجبر الحديث؛ إذ يحدد نقطة فريدة في المستوى الإحداثي الديكارتي ثنائي الأبعاد.
• وقاعدة تساوي الأزواج المرتبة تعد أداة جبرية بالغة الأهمية لحل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية المزدوجة بمساواة المساقط المتناظرة.
• أما حاصل الضرب الديكارتي X × Y فيعطي ناتج ضرب مجموعات وليس أرقاماً عادية، والناتج دائماً مجموعة من الأزواج المرتبة.
• ومن الخصائص الجوهرية: X × Y ≠ Y × X (عملية غير إبدالية)، بينما عدد العناصر إبدالي: n(X × Y) = n(Y × X) = n(X) × n(Y).
• شكل توضيحي (prep3_cartesian_and_quadratic_graph) شكل (1): حاصل الضرب الديكارتي وتمثيل منحنى الدالة التربيعية ونقطة رأس المنحنى

• ◄ ثانياً مفهوم الدالة والمجال والمدى وشروط بيان العلاقة
• تعد الدالة من أرقى المفاهيم الرياضية المعبرة عن العلاقات السببية في الكون؛ حيث ترتبط مدخلات (مجال X) بمخرجات وحيدة (مدى Y).
• وتكون العلاقة الرياضية المعرفة من X إلى Y دالة إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط المتكافئة التالية:
• 1. في بيان العلاقة (R): كل عنصر من عناصر المجموعة X يظهر كمسقط أول في زوج مرتب واحد فقط دون تكرار ودون غياب.
• 2. في المخطط السهمي: يخرج من كل عنصر من عناصر X سهم واحد وواحد فقط يتجه إلى أحد عناصر Y.
• 3. في المخطط البياني (الشبكة التربيعية): كل خط رأسي يمر بنقطة واحدة فقط من نقاط بيان العلاقة.
• المجموعة X تسمى "المجال"، والمجموعة Y تسمى "المجال المقابل"، ومجموعة الصور التي استقبلت الأسهم تسمى "المدى" (وهو مجموعة جزئية من Y).

• ◄ ثالثاً دراسة الدوال كثيرة الحدود وتمثيل الدالة التربيعية
• الدوال كثيرة الحدود هي دوال قاعدتها مقدار جبري ومجالها ومجالها المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ، وأس المتغير x فيها عدد طبيعي ينتمي إلى ℕ.
• وتصنف حسب أعلى أس للمتغير إلى:
• – دالة ثابتة (درجة صفر) f(x) = c ويمثلها خط مستقيم أفقي يوازي محور السينات ويقطع محور الصادات في (0, c).
• – دالة خطية (درجة أولى) f(x) = ax + b ويمثلها خط مستقيم مائل يقطع محور الصادات في (0, b) ومحور السينات في (-b / a, 0).
• – دالة تربيعية (درجة ثانية) f(x) = ax2 + bx + c ويمثلها منحنى متماثل على شكل حرف U متصل أملس.
• يعد رسم الدالة التربيعية محوراً امتحانياً أساسياً؛ حيث نكون جدول قيم للفترة المعطاة، ومن خلال الجدول والمنحنى نستخرج مباشرة: 1) إحداثيات نقطة رأس المنحنى (x₀, y₀)، 2) معادلة محور التماثل x = x₀، 3) القيمة العظمى أو الصغرى وهي الإحداثي الصادي y = y₀.

• 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):
• مثال نموذجي 1 مسألة نموذجية محلولة رقم 1 – تمثيل الدالة التربيعية واستخراج الخصائص
• نص المسألة / السؤال المعطيات: مثل بيانياً الدالة f(x) = x2 – 2x – 3 في الفترة المغلقة [-2, 4].
• ومن الرسم استنتج 1) إحداثيي نقطة رأس المنحنى، 2) معادلة محور التماثل، 3) القيمة الصغرى للدالة.
• الحل بالخطوات الجبرية والبيانية:
• 1) تكوين جدول القيم بالتعويض عن x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}:
• – f(-2) = (-2)² – 2(-2) – 3 = 4 + 4 – 3 = 5 ⇒ (-2, 5)
• – f(-1) = (-1)² – 2(-1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 ⇒ (-1, 0)

– f(0) = (0)2 – 2(0) – 3 = -3 ⇒ (0, -3)

• – f(1) = (1)² – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4 ⇒ (1, -4)
• – f(2) = (2)² – 2(2) – 3 = 4 – 4 – 3 = -3 ⇒ (2, -3)
• – f(3) = (3)² – 2(3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 ⇒ (3, 0)
• – f(4) = (4)² – 2(4) – 3 = 16 – 8 – 3 = 5 ⇒ (4, 5)
• 2) من التماثل البين في الجدول والرسم نجد:
• نقطة رأس المنحنى هي (1, -4).
• معادلة محور التماثل هي x = 1.
• القيمة الصغرى للدالة هي -4 (لأن معامل x2 موجب والمنحنى مفتوح لأعلى).