2-4-1 المجال المشترك لدالتين أو أكثر

• المجال المشترك هو تقاطع مجالات الدوال، أي ℝ مطروحًا منها أصفار جميع المقامات.
• المجال المشترك = مجال f ∩ مجال g

• نوجد مجال كل دالة.
• نستبعد أصفار كل المقامات معًا.
• لاحظ عدد المستبعدات في المجال المشترك يساوي اتحاد المستبعدات في المجالين.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد المجال المشترك لـ 1 ÷ (x − 1) و x ÷ (x² − 4).
2. الحل:

مجال الأولى ℝ − {1}

مجال الثانية ℝ − {2 ، −2}

المجال المشترك ℝ − {1 ، 2 ، −2}

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد المجال المشترك لـ 3 ÷ (x² − 1) و 2 ÷ (x² − 4).
2. الحل:

ℝ − {1 ، −1} و ℝ − {2 ، −2}

المجال المشترك ℝ − {1 ، −1 ، 2 ، −2}

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 أوجد المجال المشترك للدوال 1 ÷ x و 1 ÷ (x² + 1) و x ÷ (x − 5).
• الحل:

ℝ − {0} و ℝ و ℝ − {5}

المجال المشترك ℝ − {0 ، 5}

1. أخذ مجال دالة واحدة فقط.
2. نسيان أن المقام x² + 1 لا يستبعد شيئًا.

2-4-2 تساوي دالتين

• تتساوى f و g إذا تساوى مجالاهما وكان f(x) = g(x) لكل x في المجال.

• نوجد مجال كل دالة من صورتها الأصلية.
• نقارن المجالين أولًا.
• ثم نقارن القاعدتين بعد التبسيط.
• تذكر إن اختلف المجالان فالدالتان غير متساويتين حتى لو تطابقت القاعدتان المبسطتان.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 2 ÷ (x – 3)

و

g(x) = (2x2 + 2) ÷ ((x – 3)(x2 + 1))

1. متساويتان؟
2. الحل:

مجال f هو ℝ − {3}

1. مجال g هو ℝ − {3} لأن x² + 1 لا تساوي صفرًا.
2. 2 ÷ (x − 3)
3. المجالان والقاعدتان واحدة.
4. نعم متساويتان.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x2 – 1) ÷ (x – 1)

و

g(x) = x + 1

1. متساويتان؟
2. الحل:

مجال f هو ℝ − {1}

مجال g هو ℝ

1. المجالان مختلفان.
2. لا تتساويان لكنهما متساويتان على ℝ − {1}.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 1 ÷ (x – 1) + 1 ÷ (x + 1)

و

g(x) = 2x ÷ (x2 – 1)

1. متساويتان؟
2. الحل:

مجال كل منهما ℝ − {1 ، −1}

f(x) = ((x + 1) + (x – 1)) ÷ (x2 – 1)

= 2x ÷ (x² − 1)

1. نعم متساويتان.
2. الأخطاء الشائعة:

1. الحكم على التساوي بالقاعدة المبسطة فقط.
2. مقارنة المجالين بعد الاختصار.