2-2-1 دالة كثيرة الحدود ودرجتها

• دالة كثيرة الحدود قاعدتها مجموع حدود كل منها عدد حقيقي مضروب في قوة صحيحة غير سالبة للمتغير، ودرجتها أعلى قوة.
• f(x) = a_nxⁿ +… + a₁x + a₀

1. الدالة الخطية درجتها 1.
2. الدالة التربيعية درجتها 2.
3. الدالة الثابتة درجتها 0.
4. 1 ÷ x و √x ليستا دالتي كثيرة حدود.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 3x4 – 2x2 + 7

1. .
2. الحل:
3. أعلى قوة 4.

الدرجة = 4

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x – 5

1. كثيرة حدود؟
2. الحل:
3. حدود بقوى صحيحة غير سالبة.
4. نعم وهي من الدرجة الأولى.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 1 ÷ x

1. كثيرة حدود؟
2. الحل:
3. 1 ÷ x = x⁻¹ والأس سالب.
4. لا ليست كثيرة حدود.
5. الأخطاء الشائعة:

1. اعتبار الجذر أو القسمة على المتغير ضمن كثيرات الحدود.
2. تحديد الدرجة بعدد الحدود.

2-2-2 أصفار الدالة بالتحليل

• صفر الدالة هو كل عدد x يحقق f(x) = 0؛ ومجموعة الأصفار هي مجموعة حل المعادلة f(x) = 0 في ℝ.
• f(x) = 0

• نضع f(x) = 0.
• نحلل (عامل مشترك أو فرق مربعين أو ثلاثي حدود).
• نساوي كل عامل بالصفر.
• تذكر لا تقسم طرفي المعادلة على x (تضيع قيمة الصفر)؛ استخدم العامل المشترك.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 – 5x + 6

1. .
2. الحل:

(x – 2)(x – 3) = 0

x = 2 أو x = 3

مجموعة الأصفار {2 ، 3}

• التحقق:

f(2) = 4 – 10 + 6 = 0

✓

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x3 – 4x

1. .
2. الحل:

x(x2 – 4) = 0

x(x – 2)(x + 2) = 0

{0 ، 2 ، −2}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 + 2x – 15

1. .
2. الحل:

(x + 5)(x – 3) = 0

x = −5 أو x = 3

{−5 ، 3}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 3x2 – 12x

1. .
2. الحل:

x(x – 4) = 0

x = 0 أو x = 4

1. الخلط بين صفر الدالة والمقطع الصادي.
2. نسيان أحد العوامل.

2-2-3 الأصفار بإكمال المربع

إذا تعذر التحليل نكتب الدالة بصيغة الرأس ثم نحل

(x – h)2 = c

• .

(x – h)2 = c

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x – 1)2 – 4

1. .
2. الحل:

(x – 1)2 = 4

x − 1 = 2 أو x − 1 = −2

x = 3 أو x = −1

{3 ، −1}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 – 4x – 5

1. بإكمال المربع.
2. الحل:

x2 – 4x – 5 = (x – 2)2 – 9

(x – 2)2 = 9

x − 2 = ±3

x = 5 أو x = −1

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 + 2x – 8

1. بإكمال المربع.
2. الحل:

(x + 1)2 – 9 = 0

x + 1 = ±3

x = 2 أو x = −4

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x2 – 6x + 10

1. .
2. الحل:

(x – 3)2 + 1 = 0

(x – 3)2 = -1

• لا حل حقيقي.

مجموعة الأصفار ∅

1. نسيان الجذر السالب.
2. خطأ في إكمال المربع (نصف معامل x ثم تربيعه).

2-2-4 الأصفار من التمثيل البياني

• صفر الدالة هو الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المنحنى مع محور السينات.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x – 2)2

1. وأوجدها.
2. الحل:
3. الرأس (2 ، 0) على المحور.

(x – 2)2 = 0

x = 2

• صفر واحد.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = -(x + 1)2 – 3

1. .
2. الحل:
3. الرأس (−1 ، −3) والمنحنى مفتوح لأسفل.
4. المنحنى تحت المحور كله.

∅

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 منحنى قطع مكافئ يمر بالنقطتين (−2 ، 0) و (4 ، 0). ما مجموعة أصفاره؟
• الحل:
• الإحداثيات السينية للنقطتين −2 و 4.

{−2 ، 4}

1. قراءة الصفر على أنه الإحداثي الصادي.
2. الحكم على الأصفار دون مقارنة موقع الرأس.