المناهج الدراسية
الصف الثاني الثانوي
الكيمياء
0/6
الفيزياء
0/12الرياضيات البحتة
0/81الرياضيات التطبيقية
0/60
نص الدرس
الدالة الأسية وتطبيقاتها
الدالة الأسية وتطبيقاتها
تعريف الدالة الأسية وشروطها
تعريف الدالة الأسية وشروطها
- الدالة الأسية هي دالة على الصورة د(س) = أس، حيث أ > 0 و أ ≠ 1. ولهذه الشروط أسباب:
- إذا كان أ = 1 فإن د(س) = 1 دائمًا، وهي دالة ثابتة وليست أسية.
- إذا كان أ < 0 فإن قيم مثل (−4)1/2 غير حقيقية، لذلك يُشترط أ > 0.
- إذا كان أ = 0 فإن الدالة لا تُعرَّف عندما تكون س سالبة.
- مجال الدالة الأسية هو ح، ومداها هو ]0، ∞[، أي أن قيمها دائمًا موجبة.
الدالة الأسية وتطبيقاتها · 1 / 6
النمو والاضمحلال والشكل البياني
النمو والاضمحلال والشكل البياني
إذا كان أ > 1الدالة متزايدة على ح، وتمثل النمو، مثل د(س) = 2س.
إذا كان 0 < أ < 1الدالة متناقصة على ح، وتمثل الاضمحلال، مثل د(س) = (1/2)س.
- جدول القيم للدالة د(س) = 2س:
| س | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| د(س) | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 |
- من الجدول نلاحظ أن المنحنى يمر بالنقطة (0، 1) دائمًا، وأن المحور السيني (ص = 0) خط مقارب أفقي، أي أن المنحنى يقترب منه دون أن يلمسه.
- وأهم خواص القوى التي نستخدمها أ0 = 1، و أس + ص = أس × أص، و أ−س = 1 / أس.
- أعمدة من العملات تتضاعف 1 ثم 2 ثم 4 ثم 8 ثم 16 تمثل الدالة الأسية والنمو والاضمحلال.: النمو والاضمحلال والشكل البياني
الدالة الأسية وتطبيقاتها · 2 / 6
التطبيقات الحياتية
التطبيقات الحياتية
- تظهر الدالة الأسية في مسائل كثيرة
- ومن أهمها:
| النوع | الصيغة | معنى الرموز |
|---|---|---|
| النمو المركب | A = P(1 + r)t |
|
| عمر النصف (الاضمحلال) | N = N0 × (1/2)t/T | N0 الكمية الأولى، T فترة نصف العمر |
| الإهلاك بنسبة ثابتة | V = V0 × (1 − r)t | V0 القيمة الأولى، r نسبة النقص السنوي |
- تذكر دائمًا أن النسبة المئوية تُحوَّل إلى عدد عشري قبل الحساب
- فـ 5% تصبح 0.05.
الدالة الأسية وتطبيقاتها · 3 / 6
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
المثال الأول: حساب قيم الدالة
- إذا كانت د(س) = 2س، أوجد د(3) و د(−2).
- د(3) = 23 = 8. و د(−2) = 2−2 = 1 / 22 = 1/4.
المثال الثاني: نمو مبلغ في البنك
- أودع شخص مبلغ 1000 جنيه في بنك بفائدة مركبة سنوية قدرها 5%. ما المبلغ بعد 3 سنوات؟
- الحل A = 1000 × (1 + 0.05)3 = 1000 × 1.157625 = 1157.625 جنيه، أي نحو 1157.63 جنيه.
المثال الثالث: عمر النصف
- كتلة من مادة مشعة 100 جرام، وعمر نصفها 5 سنوات. ما الكتلة المتبقية بعد 10 سنوات؟ وبعد 3 سنوات؟
- الحل بعد 10 سنوات: N = 100 × (1/2)10/5 = 100 × (1/2)2 = 25 جرامًا. بعد 3 سنوات: N = 100 × (1/2)3/5 ≈ 66 جرامًا تقريبًا (65.98 جرام).
المثال الرابع: إهلاك سيارة
- اشترى شخص سيارة بسعر 20000 جنيه
- وتفقد قيمتها 15% كل سنة. ما قيمتها بعد سنتين؟
الحل←نسبة القيمة المتبقية كل سنة هي 1 − 0.15 = 0.85. إذن V = 20000 × (0.85)2 = 20000 × 0.7225 = 14450 جنيهًا.
المثال الخامس: إيجاد الأساس من نقطة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| • | منحنى الدالة د(س) = أس يمر بالنقطة (2، 9). أوجد أ. | منحنىالدالةبالنقطةأوجد |
| الحل | أ2 = 9، ومنه أ = 3 لأن الأساس موجب. | ومنهالأساسموجب |
| التحقق | 32 = 9 وهي صحيحة. | صحيحة |
المثال السادس: نمو البكتيريا
- عدد البكتيريا في مزرعة 50 خلية، وهو يتضاعف كل 3 ساعات. اكتب قاعدة الدالة، ثم أوجد العدد بعد 12 ساعة.
- الحل N(t) = 50 × 2t/3، حيث t بالساعات. بعد 12 ساعة: N = 50 × 212/3 = 50 × 24 = 50 × 16 = 800 خلية.
الدالة الأسية وتطبيقاتها · 4 / 6
أخطاء شائعة
أخطاء شائعة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| الخلط بين الدالة الأسية والدالة القوة | 2س دالة أسية بينما س2 دالة تربيعية. | بينماتربيعية |
| استخدام النسبة المئوية كعدد صحيح |
| وليس |
| نسيان الواحد في النمو المركب |
| الصيغةوليس |
| الخلط بين النمو والاضمحلال |
| الأساسفالدالةتتناقصالأس |
| معاملة عمر النصف كطرح |
| الكميةتنقصبمقدارثابت |
الدالة الأسية وتطبيقاتها · 5 / 6
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- الدالة الأسية د(س) = أس حيث أ > 0 و أ ≠ 1.
- إذا كان أ > 1 فالدالة تمثل نموًا، وإذا كان 0 < أ < 1 فالدالة تمثل اضمحلالًا.
- منحناها يمر بالنقطة (0، 1)، ومداها ]0، ∞[، والمحور السيني خط مقارب أفقي.
- تُستخدم الصيغ A = P(1 + r)t و N = N0(1/2)t/T في مسائل النمو والاضمحلال.
الدالة الأسية وتطبيقاتها · 6 / 6
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟