المناهج الدراسية
الصف الثاني الثانوي
الكيمياء
0/6
الفيزياء
0/12الرياضيات البحتة
0/81الرياضيات التطبيقية
0/60
نص الدرس
الهرم والمخروط
الهرم والمخروط
الهرم
الهرم
- الهرم مجسم قاعدته مضلع (مثلث أو مربع أو خماسي…)، وأوجهه الجانبية مثلثات تشترك جميعها في رأس واحد يسمى رأس الهرم.
- ويُسمى الخط العمودي الواصل من رأس الهرم إلى مستوى القاعدة ارتفاع الهرم، ويرمز له بالرمز h.
- وإذا وقع العمود في مركز القاعدة، سُمي الهرم قائماً.
الهرم المنتظم
- الهرم المنتظم هو هرم قائم قاعدته مضلع منتظم، أي أن أضلاع القاعدة متساوية وزواياها متساوية.
- وفي الهرم المنتظم تكون جميع الأوجه الجانبية مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة.
- ويُسمى ارتفاع الوجه الجانبي من رأس الهرم إلى منتصف أحد أضلاع القاعدة الارتفاع المائل للهرم، ويرمز له بالرمز ل.
الهرم والمخروط · 1 / 7
المخروط القائم
المخروط القائم
- المخروط مجسم قاعدته دائرة، ويتصل بها سطح منحن ينتهي برأس واضح.
- والمخروط القائم هو المخروط الذي يقع رأسه فوق مركز القاعدة، أي أن محوره عمودي على القاعدة.
نصف قطر القاعدة: r
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| ارتفاع المخروط | وهو المسافة العمودية من الرأس إلى مركز القاعدة | المسافةالعموديةالرأسمركز |
| الارتفاع المائل (المولد) | وهو المسافة من الرأس إلى أي نقطة على محيط القاعدة | المسافةالرأسنقطةمحيط |
| • | وبتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الذي أضلاعه h و r و l نحصل على العلاقة | وبتطبيقنظريةفيثاغورسالمثلث |
l2 = r2 + h2
الهرم والمخروط · 2 / 7
مقارنة بين الهرم والمخروط
مقارنة بين الهرم والمخروط
| وجه المقارنة | الهرم | المخروط |
|---|---|---|
| القاعدة | مضلع | دائرة |
| الأوجه الجانبية | مثلثات | سطح منحن واحد |
| الارتفاع | المسافة العمودية من الرأس إلى القاعدة | المسافة العمودية من الرأس إلى مركز القاعدة |
| الارتفاع المائل | ارتفاع أحد الأوجه الجانبية | المولد، ويحقق l2 = r2 + h2 |
- ويشترك الهرم والمخروط في أن كل منهما يتكون من قاعدة ورأس.
- وسنرى في الدرس التالي أن حجم كل منهما يرتبط بمساحة القاعدة والارتفاع بعلاقة واحدة.
الهرم والمخروط · 3 / 7
العلاقة بين الارتفاع والارتفاع المائل
العلاقة بين الارتفاع والارتفاع المائل
في الهرم المنتظم
- نرسم المثلث القائم الذي أضلاعه الارتفاع h، والبعد من مركز القاعدة إلى منتصف أحد أضلاعها (ويسمى بعد الضلع أو نصف القطر الداخلي للقاعدة، ويرمز له بالرمز م)، والارتفاع المائل ل. فتكون:
- ل2 = h2 + م2
في المخروط القائم
- المثلث القائم الذي أضلاعه h و r و l يعطي:
- l2 = h2 + r2
الهرم والمخروط · 4 / 7
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
مثال (1): الارتفاع المائل لهرم رباعي منتظم
- هرم رباعي منتظم قاعدته مربع طول ضلعه 8 سم، وارتفاعه 3 سم. أوجد ارتفاعه المائل.
- الحل:
- م = 8 ÷ 2 = 4 سم.
- ل2 = h2 + م2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
- ل = 5 سم.
مثال (2): الارتفاع المائل لمخروط قائم
- مخروط قائم نصف قطر قاعدته 3 سم، وارتفاعه 4 سم. أوجد ارتفاعه المائل.
- الحل:
- l2 = r2 + h2 = 32 + 42 = 25.
- l = 5 سم.
مثال (3): إيجاد الارتفاع من الارتفاع المائل ونصف القطر
- مخروط قائم نصف قطر قاعدته 5 سم، وارتفاعه المائل 13 سم. أوجد ارتفاعه الحقيقي.
- الحل:
- h2 = l2 − r2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144.
- h = √144 = 12 سم.
مثال (4): هرم ثلاثي منتظم
- هرم ثلاثي منتظم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 6 سم، وارتفاعه المائل 5 سم. أوجد ارتفاعه الحقيقي.
- الحل:
- م = a ÷ (2√3) = 6 ÷ (2√3) = √3 ≈ 1.73 سم.
- h2 = l2 − م2 = 25 − 3 = 22.
- h = √22 ≈ 4.69 سم.
الهرم والمخروط · 5 / 7
أخطاء شائعة
أخطاء شائعة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| الخطأ |
| الخلطالارتفاعالحقيقيوالارتفاع |
| الخطأ |
| استخدامالضلعبدلامنتصف |
| الخطأ | تطبيق l2 = r2 + h2 على الهرم بدلاً من المخروط. الصواب: هذه العلاقة خاصة بالمخروط الذي قاعدته دائرة نصف قطرها r | تطبيقالهرمبدلاالمخروط |
الهرم والمخروط · 6 / 7
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- الهرم مجسم قاعدته مضلع، وأوجهه الجانبية مثلثات تشترك في رأس واحد.
- الهرم المنتظم هرم قائم قاعدته مضلع منتظم، وأوجهه الجانبية مثلثات متطابقة.
- المخروط القائم قاعدته دائرة ومحوره عمودي على القاعدة، ويحقق l2 = r2 + h2.
- في الهرم المنتظم يحقق الارتفاع المائل l2 = h2 + م2، حيث م بعد مركز القاعدة عن منتصف أحد أضلاعها.
- عدد الأوجه الجانبية للهرم يساوي عدد أضلاع مضلع قاعدته، ويُسمّى الهرم ثلاثيًا أو رباعيًا أو خماسيًا بحسب ذلك.
- الأحرف الجانبية للهرم هي القطع المستقيمة التي تصل رأسه برؤوس قاعدته.
- في الهرم المنتظم تكون أحرفه الجانبية متساوية الطول، وكذلك ارتفاعاته الجانبية.
- إذا كانت جميع أوجه الهرم الثلاثي مثلثات متساوية الأضلاع، فيمكن اعتبار أي وجه منها قاعدة له.
- يتكوّن المخروط الدائري القائم بدوران كامل لمثلث قائم، حيث يكون أحد ضلعي القائمة هو محوره.
الهرم والمخروط · 7 / 7
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟