المناهج الدراسية
الصف الثاني الثانوي
الكيمياء
0/6
الفيزياء
0/12الرياضيات البحتة
0/81الرياضيات التطبيقية
0/60
نص الدرس
الدالة اللوغاريتمية
الدالة اللوغاريتمية
تعريف اللوغاريتم
تعريف اللوغاريتم
- الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. نكتب:
ص = لوأ س ⇔ س = أص
- حيث أ > 0، و أ ≠ 1، و س > 0. وتُقرأ “لو أ لـ س” وتعني: الأس الذي نرفع إليه الأساس أ لنحصل على س.
- مثلًا لو2 8 = 3 لأن 23 = 8. ولو10 0.01 = −2 لأن 10−2 = 0.01.
- إذا لم يُكتب الأساس فالمقصود غالبًا الأساس 10، أي أن لو س = لو10 س.
مسطرة حاسبة خشبية تبين الدالة اللوغاريتمية←الأعداد 1 و2 و4 و8 على مسافات متساوية وقيمة لو2 8 = 3.: تعريف اللوغاريتم
الدالة اللوغاريتمية · 1 / 6
خواص أساسية ومجال الدالة
خواص أساسية ومجال الدالة
- من تعريف اللوغاريتم نستنتج الخواص الأساسية التالية
- حيث أ > 0 و أ ≠ 1:
| الخاصية | السبب |
|---|---|
| لوأ 1 = 0 | لأن أ0 = 1 |
| لوأ أ = 1 | لأن أ1 = أ |
| لوأ (أن) = ن | لأن ن هو الأس الذي نرفع إليه الأساس أ لنحصل على أن |
| ألوأ س = س | لأن اللوغاريتم والأس عمليتان عكسيتان |
- مجال الدالة اللوغاريتمية هو ]0
- ∞[
- أي أن الوغاريتم لا يُعرّف لصفر أو لعدد سالب. ومداها هو ح.
الدالة اللوغاريتمية · 2 / 6
منحنى الدالة اللوغاريتمية
منحنى الدالة اللوغاريتمية
- منحنى الدالة د(س) = لوأ س هو صورة منحنى الدالة الأسية د(س) = أس بالنسبة للمستقيم ص = س. وله الخصائص التالية:
- يمر بالنقطة (1، 0) دائمًا، لأن لوأ 1 = 0.
- محور الصادات (س = 0) خط مقارب رأسي، والمنحنى يقترب منه دون أن يلمسه.
- إذا كان أ > 1 فالدالة متزايدة، وإذا كان 0 < أ < 1 فالدالة متناقصة.
الدالة اللوغاريتمية · 3 / 6
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
المثال الأول: حساب لوغاريتمات بسيطة
احسبلو2 8، لو3 (1/9)، لو5 5، لو7 1.
الحللو2 8 = 3 لأن 23 = 8. ولو3 (1/9) = −2 لأن 3−2 = 1/9. ولو5 5 = 1. ولو7 1 = 0.
المثال الثاني: حل معادلة لوغاريتمية
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| • | حل المعادلة لو2 س = 5. | المعادلة |
| الحل | نحوّل إلى الصورة الأسية: س = 25 = 32. | الصورةالأسية |
| التحقق | لو2 32 = 5 لأن 25 = 32. |
المثال الثالث: معادلة فيها تعبير داخل اللوغاريتم
- حل المعادلة لو3 (س − 1) = 2.
- الحل س − 1 = 32 = 9، ومنه س = 10. ونتحقق أن س − 1 = 9 > 0 فالحل مقبول.
المثال الرابع: مجال دالة لوغاريتمية
- أوجد مجال الدالة د(س) = لو2 (س2 − 4).
- الحل يجب أن يكون س2 − 4 > 0، أي (س − 2)(س + 2) > 0. الجذران هما −2 و 2، والإشارة موجبة خارجهما. إذن المجال هو ]−∞، −2[ ∪ ]2، ∞[.
المثال الخامس: معادلة أساسها كسري
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| • | حل المعادلة لو4 س = 3/2. | المعادلة |
| الحل | س = 43/2 = (√4)3 = 23 = 8. | |
| التحقق | لو4 8 = 3/2 لأن 43/2 = 8. |
المثال السادس: استخدام الخاصية الأساسية
- أوجد قيمة المقدار 5لو5 12.
- بحسب الخاصية ألوأ س = س، فإن القيمة هي 12.
الدالة اللوغاريتمية · 4 / 6
أخطاء شائعة
أخطاء شائعة
نسيان أن المجال موجبلا يُعرّف لوأ للصفر أو لعدد سالب.
الخلط بين الصورتينلو2 8 = 3 لأن 23 = 8، وليس العكس.
الخطأ في الحل الأسيإذا كانت لو3(س − 1) = 2 فإن س − 1 = 9، وليس 2 × 3.
اعتبار اللوغاريتم حاصل ضربلوأ س ليست تساوي (لوأ) × س.
الدالة اللوغاريتمية · 5 / 6
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- ص = لوأ س تكافئ س = أص، حيث أ > 0 و أ ≠ 1 و س > 0.
- لوأ 1 = 0 و لوأ أ = 1.
- مجال الدالة اللوغاريتمية ]0، ∞[ ومداها ح.
- منحنى الدالة اللوغاريتمية صورة منحنى الدالة الأسية بالنسبة للمستقيم ص = س.
الدالة اللوغاريتمية · 6 / 6
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟