مثال (1): قوة أفقية أقل من الحد الأقصى للاحتكاك

• صندوق وزنه 50 نيوتن موضوع على أرض أفقية معامل الاحتكاك السكوني بينه وبين الأرض 0.4.
• يُسحب الصندوق بقوة أفقية P.
• أوجد الاحتكاك عندما P = 15 نيوتن، ثم أوجد الحد الأقصى لـ P الذي لا يتحرك عنده الصندوق.
• الحل:

1. R = W = 50 نيوتن.
2. Fmax = μ R = 0.4 × 50 = 20 نيوتن.
3. من ∑ س = 0 نجد F = 15 نيوتن، وهي أقل من 20، لذا الصندوق ساكن.
4. الحد الأقصى لـ P هو 20 نيوتن، فعندها يكون الصندوق على وشك الحركة.

مثال (2): قوة سحب مائلة فوق الأفق

• الصندوق نفسه في المثال (1) (وزنه 50 نيوتن، و μ = 0.4) يُسحب بقوة P تصنع زاوية 30° فوق الأفق.
• أوجد أكبر قيمة لـ P يبقى عندها الصندوق ساكناً، مقرباً الناتج إلى منزلتين عشريتين.
• الحل:

1. R = 50 − P × جا 30° = 50 − P ÷ 2.
2. P × جتا 30° = μ R، أي P × √3 ÷ 2 = 0.4 (50 − P ÷ 2).
3. 0.866 P = 20 − 0.2 P، ومنها 1.066 P = 20، إذن P ≈ 18.76 نيوتن.
4. لاحظ أن القوة المائلة أعطت قيمة أقل للحد الأقصى من القوة الأفقية (20 نيوتن)، لأن جزءاً منها يقلل من رد الفعل العمودي.

مثال (3): إيجاد معامل الاحتكاك

• جسم وزنه 40 نيوتن على مستوى أفقي خشن، وعندما أثرت عليه قوة أفقية 12 نيوتن أصبح على وشك الحركة.
• أوجد معامل الاحتكاك السكوني، ثم زاوية الاحتكاك.
• الحل:

1. R = W = 40 نيوتن.
2. F = P = 12 نيوتن.
3. μ = F ÷ R = 12 ÷ 40 = 0.3.
4. ظا λ = 0.3، ومنها λ ≈ 16.7°.

مثال (4): قوة مائلة بزاوية 60° فوق الأفق

• جسم وزنه 60 نيوتن على مستوى أفقي خشن، معامل احتكاكه السكوني 0.5.
• يُسحب الجسم بقوة P تصنع زاوية 60° فوق الأفق، وهو على وشك الحركة.
• أوجد P.
• الحل:

1. R = 60 − P × جا 60° = 60 − P × √3 ÷ 2 ≈ 60 − 0.866 P.
2. P × جتا 60° = μ R، أي 0.5 P = 0.5 (60 − 0.866 P).
3. 0.5 P = 30 − 0.433 P، ومنها 0.933 P = 30، إذن P ≈ 32.15 نيوتن.
4. R ≈ 60 − 0.866 × 32.15 ≈ 32.15 نيوتن، والاحتكاك 0.5 × 32.15 ≈ 16.08 نيوتن، والمركبة الأفقية 32.15 × 0.5 ≈ 16.08 نيوتن، وهما متساويان.