• في المسائل الآتية نستخدم مكعباً طول حرفه 4 سم، وقاعدته المربعة ABCD، والوجه العلوي EFGH، بحيث تكون E فوق A، وF فوق B، وG فوق C، وH فوق D.
• نضع النقطة A عند نقطة الأصل، فتكون إحداثيات الرؤوس:
• A(0، 0، 0)، B(4، 0، 0)، C(4، 4، 0)، D(0، 4، 0)، E(0، 0، 4)، G(4، 4، 4).

مثال (1): وضع مستقيمين

1. بيّن وضع المستقيمين AB وEH.
2. الحل:

1. المستقيم AB يمر بالنقط (t، 0، 0)، والمستقيم EH يمر بالنقط (0، s، 4).
2. لو تقاطعا لوجدنا نقطة مشتركة، ولكن الإحداثي الثالث (ع) لأي نقطة على AB يساوي صفراً، وعلى EH يساوي 4، فلا توجد نقطة مشتركة.
3. اتجاه AB هو (1، 0، 0)، واتجاه EH هو (0، 1، 0)، وليسا متوازيين.
4. إذن المستقيمان متخالفان.

مثال (2): تعامد مستقيم على مستوى

1. أثبت أن AE عمودي على المستوى ABCD.
2. الحل:

1. المستقيم AE رأسي، واتجاهه (0، 0، 4).
2. AB و AD مستقيمان متقاطعان في المستوى ABCD، واتجاههما (4، 0، 0) و(0، 4، 0).
3. AE ⊥ AB لأن حاصل الضرب القياسي للاتجاهين = 0، وكذلك AE ⊥ AD.
4. إذن AE عمودي على المستوى ABCD، وبعد E عن المستوى هو طول AE = 4 سم.

مثال (3): طول القطر الفراغي

1. أوجد طول القطر AG.
2. الحل:

• AG = √((4 − 0)² + (4 − 0)² + (4 − 0)²) = √48 = 4√3 ≈ 6.93 سم.

مثال (4): زاوية ميل القطر على المستوى الأفقي

1. أوجد زاوية ميل القطر AG على المستوى ABCD.
2. الحل:

1. G تقع فوق C تماماً، لذلك المسقط القائم لـ AG على المستوى ABCD هو AC.
2. طول AC = √(4² + 4²) = 4√2 سم.
3. ظا θ = CG ÷ AC = 4 ÷ (4√2) = 1 ÷ √2 ≈ 0.7071.
4. ومنها θ ≈ 35.26°.
5. جا θ = 4 ÷ (4√3) = 1 ÷ √3، وهو ما يتفق مع المثلث القائم.