المتغير العشوائي المتقطع

المتغير العشوائي ومداه

المتغير العشوائي هو دالة تربط كل ناتج من نواتج التجربة العشوائية بعدد حقيقي واحد.
ونرمز له عادة بالحرف س الكبير، ونرمز لقيمه بالحرف س الصغير.
مثلاً: إذا ألقينا قطعتي نقود وكان س عدد مرات ظهور الصورة، فإن س يأخذ القيم 0 أو 1 أو 2.
مدى المتغير العشوائي هو مجموعة كل القيم التي يمكن أن يأخذها.
ويكون المتغير متقطعاً إذا كان مداه مجموعة قيم منفصلة يمكن عدها، مثل 0، 1، 2، 3، وغير ذلك يكون متصلاً.

المتغير العشوائي المتقطع · 1 / 7

التوزيع الاحتمالي وشروطه

التوزيع الاحتمالي للمتغير المتقطع هو جدول أو قاعدة توضح كل قيمة من قيم س واحتمالها، ونكتب الاحتمال بالصورة د(س) = ل(س = قيمة).
ولكي يكون الجدول توزيعاً احتمالياً صحيحاً لابد من تحقق شرطين:

ثلاث عملات وأوعية تمثل المتغير العشوائي المتقطع لعدد الصور: احتمالاته 1/8 و3/8 و3/8 و1/8.

كل احتمال يحقق 0 ≤ د(س) ≤ 1.
Σ د(س) = 1.

وإذا لم يتحقق الشرط الثاني
فإن الجدول يكون خاطئاً
ويجب مراجعة الحساب.

المتغير العشوائي المتقطع · 2 / 7

حساب احتمالات أحداث مرتبطة بالمتغير

نحسب احتمال أي حدث يتعلق بالمتغير بجمع احتمالات القيم الداخلة فيه. فمثلاً:

ل(س ≤ a) = مجموع د(س) لكل القيم التي تكون أقل من أو تساوي a.
ل(س ≥ a) = مجموع د(س) لكل القيم التي تكون أكبر من أو تساوي a.
ل(a ≤ س < b) = مجموع د(س) لكل القيم التي تحقق a ≤ س < b، أي أن b لا تدخل.
ويُفضّل كتابة القيم داخل الحدث في سطر مستقل قبل الجمع، لتجنب إدخال قيمة زائدة أو نسيان قيمة.

المتغير العشوائي المتقطع · 3 / 7

إيجاد ثابت مجهول في التوزيع

قد يعطينا السؤال توزيعاً يحتوي على قيمة مجهولة، فنستخدم شرط مجموع الاحتمالات يساوي 1 لإيجادها.
فإذا كان التوزيع يحتوي على الاحتمالات 0.1 و a و 0.3 و 0.2، فإن 0.1 + a + 0.3 + 0.2 = 1، أي a = 0.4.
ويستخدم هذا الأسلوب في كثير من أسئلة الامتحان.
وبعد إيجاد الثابت نتحقق من صلاحية التوزيع، فيجب أن يقع كل احتمال بين الصفر والواحد الصحيح، وأن يكون مجموع الاحتمالات مساوياً للواحد الصحيح.

المتغير العشوائي المتقطع · 4 / 7

أمثلة محلولة

المثال الأول←ألقيت قطعتا نقود متزنتان، وكان س عدد مرات ظهور الصورة. كوّن التوزيع الاحتمالي للمتغير س، وتحقق من شرطيه.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
فضاء العينة يحتوي على 4 نواتج متساوية الاحتمال	ك ك ك ص ص ك ص ص
•	س = 0 في ناتج واحد (ص ص) و س = 1 في ناتجين (ك ص ص ك) و س = 2 في ناتج واحد (ك ك)	ناتجواحدناتجين
التوزيع	د(0) = 1 ÷ 4 د(1) = 2 ÷ 4 = 1 ÷ 2 د(2) = 1 ÷ 4
•	مجموع الاحتمالات = 1 ÷ 4 + 1 ÷ 2 + 1 ÷ 4 = 1 وهو توزيع صحيح	مجموعالاحتمالاتتوزيعصحيح
المثال الثاني	متغير عشوائي س يأخذ القيم 1 واحتماله د(س) = k × س. أوجد قيمة k ثم احسب ل(س ≥ 3) و ل(س زوجي)	متغيرعشوائييأخذالقيم

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مجموع الاحتمالات	k(1 + 2 + 3 + 4) = 10k = 1 إذن k = 1 ÷ 10
التوزيع	د(1) = 0.1 د(2) = 0.2 د(3) = 0.3 د(4) = 0.4
•	ل(س ≥ 3) = 0.3 + 0.4 = 0.7
•	ل(س زوجي) = ل(س = 2) + ل(س = 4) = 0.2 + 0.4 = 0.6	زوجي
المثال الثالث	التوزيع الاحتمالي للمتغير س كالتالي: س = 0 3 باحتمالات 0.1 0.3 0.2 على الترتيب. أوجد a ثم احسب ل(س ≤ 1) و ل(1 ≤ س < 3)	التوزيعالاحتماليللمتغيركالتالي

0.1 + a + 0.3 + 0.2 = 1، إذن a = 0.4.
ل(س ≤ 1) = د(0) + د(1) = 0.1 + 0.4 = 0.5.
ل(1 ≤ س < 3) = د(1) + د(2) = 0.4 + 0.3 = 0.7، لأن القيمة 3 لا تدخل في الحدث.
المثال الرابع يُلقى حجر نرد منتظم مرتين، وليكن س عدد مرات ظهور العدد 6. كوّن التوزيع الاحتمالي، ثم أوجد ل(س ≥ 1).

عدد نواتج التجربة = 6 × 6 = 36 ناتجاً متساوية الاحتمال.
س = 0 لا يظهر 6 في الرميتين، عدد النواتج = 5 × 5 = 25، إذن د(0) = 25 ÷ 36.
س = 1 يظهر 6 في رمية واحدة فقط، عدد النواتج = 2 × 5 = 10، إذن د(1) = 10 ÷ 36.
س = 2 يظهر 6 في الرميتين، عدد النواتج = 1، إذن د(2) = 1 ÷ 36.
مجموع الاحتمالات = (25 + 10 + 1) ÷ 36 = 1.
ل(س ≥ 1) = 10 ÷ 36 + 1 ÷ 36 = 11 ÷ 36 ≈ 0.31.

المتغير العشوائي المتقطع · 5 / 7

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
نسيان أن مجموع الاحتمالات يساوي 1	إذا لم يتحقق هذا الشرط فالجدول خاطئ	يتحققالشرطفالجدولخاطئ
الخلط بين ل(س < 3) و ل(س ≤ 3)	القيمة 3 تدخل في الثانية ولا تدخل في الأولى	القيمةتدخلالثانيةالأولى
إدخال قيمة لا تنتمي للمدى	الاحتمال لأي قيمة خارج مدى المتغير يساوي صفراً	الاحتمالخارجالمتغيريساوي
اعتبار الاحتمال قيمة للمتغير	د(س) هو احتمال أما س فهي قيمة العدد الذي يأخذه المتغير	العدديأخذهالمتغير
عدم كتابة نواتج التجربة كاملة	في تجربة الرمي مرتين يجب حساب كل الأزواج الممكنة أي 36 ناتجاً	الرميمرتينحسابالأزواج

المتغير العشوائي المتقطع · 6 / 7

ملخص الدرس

المتغير العشوائي دالة تربط نواتج التجربة بأعداد حقيقية، ومداه هو مجموعة قيمه.
المتغير المتقطع مداه قيم منفصلة يمكن عدها.
شرطا التوزيع الاحتمالي 0 ≤ د(س) ≤ 1، و Σ د(س) = 1.
احتمال أي حدث يحسب بجمع احتمالات القيم الداخلة فيه.
يُستخدم شرط مجموع الاحتمالات لإيجاد ثابت مجهول.

المتغير العشوائي المتقطع · 7 / 7

المناهج الدراسية

الإحصاء — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: الارتباط والانحدار

الوحدة الثانية: مقاييس إحصائية متقدمة

الوحدة الثالثة: الاحتمال

الوحدة الرابعة: المتغيرات العشوائية والاحتمال

الوحدة الخامسة: التوزيع الطبيعي

المتغير العشوائي المتقطع

المتغير العشوائي المتقطع

المتغير العشوائي ومداه

التوزيع الاحتمالي وشروطه

حساب احتمالات أحداث مرتبطة بالمتغير

إيجاد ثابت مجهول في التوزيع

أمثلة محلولة

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس