الدرس 1 - التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية

• الحد الجبري (Algebraic Term): ما تكون من حاصل ضرب عامل أو أكثر (عامل عددي يسمى المعامل، وعوامل جبرية تسمى الرموز أو المتغيرات)، ودرجته هي مجموع أسوس عوامله الجبرية (الرمزية).
• المقدار الجبري (Algebraic Expression): ما تكون من حد جبري واحد أو أكثر تفصل بينها إشارات الجمع (+) أو الطرح (-)، ودرجته هي درجة أعلى حد من حدوده المكونة له.
• المعادلة الخطية (Linear Equation): معادلة جبرية من الدرجة الأولى تمثل بيانياً بخط مستقيم في المستوى الإحداثي، وصيغتها العامة في مجهولين: \[\begin{gathered}\,\text{ax} + \,\text{by} + c = 0\end{gathered}\].
• ميل الخط المستقيم (Slope - m): نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي، أو ظل الزاوية الموجبة التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات: \[\begin{gathered}m = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \tan \theta \end{gathered}\].
• طريقة الحذف (Elimination Method): طريقة جبرية لحل معادلتين آنيتين بضرب إحداهما أو كلتيهما في ثوابت مناسبة لجعل معاملي أحد المتغيرين متساويين في المقدار ومتضادين في الإشارة ثم الجمع للتخلص منه.
• طريقة التعويض (Substitution Method): طريقة جبرية يتم فيها التعبير عن أحد المتغيرين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين ثم التعويض به في المعادلة الأخرى للحصول على معادلة في مجهول واحد.

• معادلة الخط المستقيم بدلالة الميل والجزء المقطوع: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}y = m \times x + c ]\end{gathered}\] حيث m هو الميل، و c هو الجزء المقطوع من محور الصادات (النقطة (0, c)).
• معادلة الخط المستقيم المار بنقطة معلومة وميل: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}y - y_{1} = m \times (x - x_{1}) ]\end{gathered}\] صيغة الميل ونقطة.
• شرط توازي وتعامد مستقيمين: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: Parallel: \[\begin{gathered}m_{1} = m_{2} | \,\text{Perpendicular}\end{gathered}\]: \[\begin{gathered}m_{1} \times m_{2} = -1 \left(m_{2} = -\dfrac{1}{m_{1}}\right) ]\end{gathered}\] المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما -1.
• ميل المستقيم من معادلته العامة: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: m = - (معامل \(x) /\) (معامل \[\begin{gathered}y) = - \dfrac{a}{b} ]\end{gathered}\] حيث المعادلة: \[\begin{gathered}a x + b y + c = 0\end{gathered}\].

• الجبر هو علم العلاقات والتعميم الرياضي.
• يتكون الحد الجبري من معامل عددي وعوامل رمزية.
• فمثلاً الحد 5 x² y³ معامله 5 ودرجته هي الخامسة (2 + 3 = 5).
• والحد المطلق (العدد الثابت الخالي من الرموز مثل 7) يعتبر حداً جبرياً من الدرجة صفر لأن 7 = 7 x⁰.

• جمع وطرح المقادير الجبرية يشترط أن تكون الحدود متشابهة (لها نفس الرموز وبنفس الأسوس).
• أما عند ضرب الحدود الجبرية فنضرب المعاملات ونجمع الأسوس لنفس الأساس (xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ)، وعند القسمة نطرح الأسوس (xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ).

• إخراج العامل المشترك الأكبر (HCF): أهم مهارة جبرية على الإطلاق؛
• نحدد العامل المشترك الأكبر للأعداد ثم الرمز المشترك بأصغر أس، ونقسم كل حد من حدود المقدار على العامل المشترك ونضع الناتج داخل القوسين: \[\begin{gathered}6x^{3}y^{2} - 9x^{2}y^{3} = 3x^{2}y^{2} (2x - 3y)\end{gathered}\].

حل معادلتين خطيتين من الدرجة الأولى في متغيرين x و y يهدف إلى إيجاد نقطة التقاطع المشتركة (x, y) التي تحقق كلتا المعادلتين في آن واحد.

الحل البياني: نرسم المستقيمين في المستوى الإحداثي الديكارتي المتعامد:

1. إذا تقاطع المستقيمان في نقطة واحدة (x1, y1): يكون للنظام حل وحيد هو مجموعة النقطة {(x1, y1)}، والمستقيمان متقاطعان.

2. إذا كان المستقيمان متوازيين تماماً ولا يتقاطعان (m1 = m2 و c1 ≠ c2): تكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية ∅ وعدد الحلول صفر.

3. إذا انطبق المستقيمان تماماً على بعضهما البعض (m1 = m2 و c1 = c2): يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول.

الحل الجبري بطريقة الحذف: نرتب المعادلتين بحيث تكون المتغيرات x و y في طرف والثوابت في طرف آخر، ثم نعدل المعاملات بالضرب ونجمع لحذف أحد المتغيرين وإيجاد المتغير الآخر ثم التعويض.

ميل الخط المستقيم (Slope - m) يعبر عن انحدار المستقيم رياضياً:

• إذا كانت الزاوية θ حادة: يكون الميل موجباً (m > 0) والمستقيم صاعد لليمين.

• إذا كانت الزاوية θ منفرجة: يكون الميل سالباً (m < 0) والمستقيم هابط لليمين.

• إذا كان المستقيم أفقياً موازياً لمحور السينات: يكون ميله صفراً (m = 0) ومعادلته y = c.

• إذا كان المستقيم رأسياً موازياً لمحور الصادات: يكون ميله غير معرف (غير معين m = ∞) ومعادلته x = k.

المستقيمان المتوازيان والمتعامدان: شرط التوازي هو تساوي الميلين m1 = m2، وشرط التعامد هو أن أحدهما معكوس جمعي وضربي للآخر: \[\begin{gathered}m_{1} \times m_{2} = -1\end{gathered}\] (أي \(m_{2} = -\dfrac{1}{m_{1}}\)).

• التطبيقات الاقتصادية والحياتية: دالة التكلفة الخطية الإجمالية = التكلفة الثابتة + (التكلفة المتغيرة للوحدة × عدد الوحدات): \[\begin{gathered}C(x) = m x + c\end{gathered}\].
• ونقطة التعادل المالي (Break-Even Point) هي النقطة التي تتساوى عندها الإيرادات الكلية مع التكاليف الكلية.

جدول: مقارنة حالات حل معادلتين خطيتين بيانياً وجبرياً

• حل معادلتين خطيتين آنيتين بطريقة الحذفالمعطيات والتفاعل والمطلوب: أوجد مجموعة الحل في R × R للمعادلتين الآتيتين جبرياً: 2x - y = 5 و x + 3y = 6.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] نرتب المعادلتين: المعادلة (1): 2x - y = 5. المعادلة (2): \[\begin{gathered}x + 3y = 6. [2]\end{gathered}\] نقرر حذف المتغير y: نلاحظ أن معامل y في المعادلة (1) هو -1، وفي المعادلة (2) هو +3. [3] نضرب المعادلة (1) كاملة في العدد 3: 3 × (2x - y = 5) == & gt ; 6x - 3y = 15 (المعادلة 3). [4] نجمع المعادلة (2) مع المعادلة (3): \[\begin{gathered}(x + 6x) + (3y - 3y) = 6 + 15. [5] 7x + 0 = 21 \Rightarrow\;\color{#15803d}{\mathbf{ 7x = 21 \Rightarrow\; x = \dfrac{21}{7} = 3}}\end{gathered}\]. [6] نعوض بقيمة x = 3 في المعادلة (2) لإيجاد y: \[\begin{gathered}3 + 3y = 6 ==\end{gathered}\]> \[\begin{gathered}3y = 6 - 3 = 3 \Rightarrow\;\color{#15803d}{\mathbf{ y = \dfrac{3}{3} = 1}}\end{gathered}\]. [7] التحقق من صحة الحل بالمعادلة (1): \[\begin{gathered}2(3) - (1) = 6 - 1 = 5\end{gathered}\] (صحيحة تماماً). [8] مجموعة الحل: \[\begin{gathered}S.S = {(3, 1)}\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: مجموعة الحل في R × R تكتب كزوج مرتب داخل قوسي مجموعة: {(x, y)}!
• إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة والعمودي على مستقيمالمعطيات والتفاعل والمطلوب: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (2, -3) والعمودي على المستقيم الذي معادلته: \[\begin{gathered}3x - 4y + 7 = 0\end{gathered}\].خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: نوجد ميل المستقيم المعطى (m1): المعادل: \[\begin{gathered}3x - 4y + 7 = 0. [2] m_{1} = -\end{gathered}\] (معامل \(x) /\) (معامل \[\begin{gathered}y) = - \dfrac{3}{-} 4 = \dfrac{3}{4.} [3]\end{gathered}\] ثانياً: بما أن المستقيم المطلوب عمودي على هذا المستقيم، فإن ميل المستقيم المطلوب (m) هو المعكوس الجمعي والضربي لـ m1: \[\begin{gathered}m = - \dfrac{1}{m_{1}} = - \dfrac{4}{3.} [4]\end{gathered}\] ثالثاً: نكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة \[\begin{gathered}(x_{1} = 2, y_{1} = -3)\end{gathered}\]: \[\begin{gathered}y - y_{1} = m (x - x_{1}). [5] y - (-3) = - \dfrac{4}{3} (x - 2) \Rightarrow\;\color{#15803d}{\mathbf{ y + 3 = - \dfrac{4}{3} (x - 2)}}\end{gathered}\]. [6] نضرب المعادلة كلها في 3 للتخلص من المقام: \[\begin{gathered}3(y + 3) = - 4(x - 2) \Rightarrow\;\color{#15803d}{\mathbf{ 3y + 9 = - 4x + 8}}\end{gathered}\]. [7] ننقل الحدود للطرف الأيمن: \[\begin{gathered}4x + 3y + 9 - 8 = 0 \Rightarrow\;\color{#15803d}{\mathbf{ 4x + 3y + 1 = 0}}\end{gathered}\]. [8] الاستنتاج: معادلة الخط المستقيم المطلوب هي \[\begin{gathered}4x + 3y + 1 = 0\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: قاعدة سريعة للامتحانات: ميل العمودي على الكسر أ/ب هو قلب الكسر وتغيير إشارته: -ب/أ!

• درجة الحد الجبري هي مجموع أسوس رموزه، ودرجة المقدار الجبري هي أعلى درجة حد من حدوده.
• المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل (m1 = m2)، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1.
• المستقيم الأفقي الموازي لمحور السينات ميله صفر (y = c)، والرأسي ميله غير معرف (x = k).
• مجموعة حل معادلتين خطيتين تمثل نقطة تقاطع المستقيمين بيانياً.
• إذا تساوى الميلان وتساوى الجزء المقطوع يكون للمنظومة عدد لا نهائي من الحلول لانطباق المستقيمين.