الدرس الثاني: دوائر المعاوقة والرنين والدائرة المهتزة

شكل 1: رسم توضيحي — النقطة 1: المعاوقة ومتجهات الطور يوضح المجسم منحنى الرنين في دائرة RLC، فيبين أن شدة التيار والمعاوقة الكلية Z تعتمدان على التردد f ومقاومة الدائرة R. وعند تردد الرنين f₀ = 1/[2π√(LC)] تتساوى المفاعلتان XL وXC، فتصل المعاوقة إلى أقل قيمة لها وتساوي R، ويكون التيار في أقصى قيمة له وبنفس طور الجهد.

🧊 مخطط سطحي ثلاثي الأبعاد لمنحنى الرنين الكهربي والمعاوقة (RLC Resonance 3D)

D Scientific Model

شكل 2 مخطط سطحي ثلاثي الأبعاد لمنحنى الرنين الكهربي والمعاوقة (RLC Resonance 3D)
يبيّن المخطط السطحي تأثير تغير التردد في شدة التيار والمعاوقة لدائرة RLC، ويظهر أن قمة المنحنى تقع عند تردد الرنين.
ويرتبط اتساع هذه القمة بمعامل الجودة Q، فكلما كانت القمة أضيق كانت الدائرة أكثر انتقاء للتردد المطلوب.
مجسم ثلاثي الأبعاد يوضح اعتماد شدة التيار والمعاوقة الكلية Z على التردد f ومقاومة الدائرة R: عند تردد الرنين f0 = 1 / [2π√(LC)]، تتساوى المفاعلة الحثية XL مع السعوية XC، وتصل المعاوقة إلى أقل قيمة ممكنة مساوية لـ R، ويكون التيار عند قيمته العظمى وبنفس طور الجهد، مع إبراز معامل الجودة Q واتساع نطاق التردد.

الخاصية / الحالة	تردد أقل من الرنين (f < f₀)	عند تردد الرنين (f = f₀)	تردد أكبر من الرنين (f > f₀)
العلاقة بين المفاعلتين	X_C > X_L	X_L = X_C (انعدام المفاعلة)	X_L > X_C
المعاوقة الكلية Z	Z > R (كبيرة)	Z = R (نهاية صغرى)	Z > R (تزداد بزيادة التردد)
طبيعة خواص الدائرة	خواص سعوية (التيار يسبق الجهد)	خواص أومية نقية (طور متفق θ = 0)	خواص حثية (الجهد يسبق التيار)

مفهوم المعاوقة

توجد في دوائر التيار المتردد التي تحتوي على مقاومات وملفات ومكثفات ممانعة لمرور التيار، سببها مفاعلة الملفات والمكثفات إضافة إلى مقاومة الأسلاك.
المعاوقة (Z) محصلة المفاعلة والمقاومة معًا في الدائرة، وتقاس بالأوم (Ω).

طريقة الحساب بالمتجهات

في الدائرة على التوالي يكون التيار له الطور نفسه في جميع المكونات.
جهد المقاومة V_R في الطور نفسه مع التيار.
جهد الملف V_L يتقدم على التيار بزاوية 90°.
جهد المكثف V_C يتأخر عن التيار بزاوية 90°.
لا يمكن جمع الجهود جمعًا جبريًا، بل جمعًا اتجاهيًا باستخدام المتجهات الطورية.

مخطط سطحي ثلاثي الأبعاد لمنحنى الرنين الكهربي والمعاوقة (RLC Resonance 3D)

مخطط سطحي ثلاثي الأبعاد لمنحنى الرنين الكهربي والمعاوقة (RLC Resonance 3D): أولًا: المعاوقة ومتجهات الطور

وجه المقارنة	عند اكتمال شحن المكثف	عند تفريغ المكثف كليًا
شحنة المكثف	قيمة عظمى	صفر
الطاقة الكهربية المخزنة	عظمى	صفر
شدة التيار في الملف	صفر	قيمة عظمى
الطاقة المغناطيسية في الملف	صفر	عظمى
معدل تغير التيار	عظمى	صفر

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
يغيّر مستمع الراديو سعة المكثف	ليتساوى تردد دائرة الرنين مع تردد المحطة المطلوبة فتمر إشارتها بأقصى شدة	ليتساوىتردددائرةالرنين
يكون التيار أكبر ما يمكن عند الرنين	لأن X_L = X_C فتنعدم المفاعلة وتصبح المعاوقة أقل ما يمكن وتساوي R.	فتنعدمالمفاعلةوتصبحالمعاوقة
لا تستهلك الدائرة المهتزة النظرية طاقة	لأن الطاقة تتبادل بين المكثف والملف وتخمد فعليًا بسبب المقاومة الأومية	الطاقةتتبادلالمكثفوالملف
•	egp-ex{margin:18px 0 border:1px solid rgba(79 224 border-radius:16px overflow:hidden background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px font-weight:800 background:linear-gradient(90deg #4f3fe0 #22c1c3) color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex flex-wrap:wrap gap:6px padding:10px 12px background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79 224 background:#fff border-radius:20px padding:5px 14px font-weight:700 cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0 color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b k){var w=b.closest(‘.egp-ex’) w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x i){x.classList.toggle(‘on’ i===k)}) w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x i){x.hidden=i!==k})}	margin18pxbordersolid

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

يغيّر مستمع الراديو سعة المكثف

ليتساوى تردد دائرة الرنين مع تردد المحطة المطلوبة فتمر إشارتها بأقصى شدة

ليتساوىتردددائرةالرنين

يكون التيار أكبر ما يمكن عند الرنين

لأن X_L = X_C فتنعدم المفاعلة وتصبح المعاوقة أقل ما يمكن وتساوي R.

فتنعدمالمفاعلةوتصبحالمعاوقة

لا تستهلك الدائرة المهتزة النظرية طاقة

لأن الطاقة تتبادل بين المكثف والملف
وتخمد فعليًا بسبب المقاومة الأومية

الطاقةتتبادلالمكثفوالملف

•

egp-ex{margin:18px 0
border:1px solid rgba(79
224
border-radius:16px
overflow:hidden
background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px
font-weight:800
background:linear-gradient(90deg
#4f3fe0
#22c1c3)
color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex
flex-wrap:wrap
gap:6px
padding:10px 12px
background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79
224
background:#fff
border-radius:20px
padding:5px 14px
font-weight:700
cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0
color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b
k){var w=b.closest(‘.egp-ex’)
w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x
i){x.classList.toggle(‘on’
i===k)})
w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x
i){x.hidden=i!==k})}

margin18pxbordersolid

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المعادلات الاتجاهية والطورية لدائرة R-L-C المركبة	[ الصيغة: V = √[VR² + (VL – VC)²] \| Z = √[R² + (XL – XC)²] \| tan θ = (XL – XC) / R = (VL – VC) / VR ] إذا كان XL > XC تكون للدائرة خواص حثية وزاوية الطور موجبة وإذا كان XC > XL تكون للدائرة خواص سعوية وزاوية الطور سالبة وإذا كان XL = XC تكون للدائرة خواص أومية وزاوية الطور صفر (حالة رنين)	الصيغةتكونللدائرةخواص
قانون تردد الرنين الكهربي (Resonance Frequency Formula)	[ الصيغة: f₀ = 1 / (2π √(L · C)) ] يتحدد تردد الرنين بقيمتي معامل الحث الذاتي للملف L وسعة المكثف C فقط ولا يتأثر إطلاقاً بالمقاومة الأومية R	الصيغةيتحددبقيمتيمعامل

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

المعادلات الاتجاهية والطورية لدائرة R-L-C المركبة

[ الصيغة: V = √[VR² + (VL – VC)²] | Z = √[R² + (XL – XC)²] | tan θ = (XL – XC) / R = (VL – VC) / VR ] إذا كان XL > XC تكون للدائرة خواص حثية وزاوية الطور موجبة
وإذا كان XC > XL تكون للدائرة خواص سعوية وزاوية الطور سالبة
وإذا كان XL = XC تكون للدائرة خواص أومية وزاوية الطور صفر (حالة رنين)

الصيغةتكونللدائرةخواص

قانون تردد الرنين الكهربي (Resonance Frequency Formula)

[ الصيغة: f₀ = 1 / (2π √(L · C)) ] يتحدد تردد الرنين بقيمتي معامل الحث الذاتي للملف L وسعة المكثف C فقط
ولا يتأثر إطلاقاً بالمقاومة الأومية R

الصيغةيتحددبقيمتيمعامل

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
2) الدوائر البسيطة الثلاث	أ- دائرة مقاومة أومية عديمة الحث (R): يتفق فيها فرق الجهد والتيار تماماً في الطور (زاوية الطور θ = 0) والقدرة تستهلك في المقاومة على شكل حرارة (P = I² R)	دائرةمقاومةأوميةعديمة
ب- دائرة ملف حث عديم المقاومة (L)	يتولد فيه حث ذاتي عكسي يقاوم نمو التيار فيسبق فرق الجهد التيار بربع دورة (زاوية الطور +90° أو π/2 rad) وتتعين المفاعلة الحثية من القانون: XL = 2π f L ولا تستهلك طاقة كهربية في الملف النقي لأنها تختزن في صورة مجال مغناطيسي يعاد للدائرة دورياً	يتولدذاتيعكسييقاوم
ج- دائرة مكثف نقي (C)	تتراكم الشحنات على اللوحين فيسبق التيار فرق الجهد بربع دورة (زاوية الطور -90°) وتتعين المفاعلة السعوية من القانون: XC = 1 / (2π f C) وتختزن الطاقة دون استهلاك في صورة مجال كهربي بين لوحي المكثف	تتراكمالشحناتاللوحينفيسبق

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
3) زاوية الطور والحالات الثلاث للدائرة	تتعين زاوية الطور θ من النسبة: tan θ = (XL – XC) / R = (VL – VC) / VR	تتعينالنسبة
وتأخذ الدائرة ثلاث خواص فيزيائية	أ- خواص حثية: عندما XL > XC (أي VL > VC) تكون tan θ موجبة ويتقدم الجهد الكلي على التيار بزاوية حادة θ	حثيةعندماتكونموجبة
ب- خواص سعوية	عندما XC > XL (أي VC > VL) تكون tan θ سالبة ويتأخر الجهد الكلي عن التيار بزاوية حادة θ	عندماتكونسالبةويتأخر
ج- خواص أومية	عندما XL = XC تصبح tan θ = 0 ويتفق الجهد الكلي مع التيار في الطور وتكون المعاوقة أقل ما يمكن وتسمى هذه الحالة الفريدة بـ 'حالة الرنين'	عندماتصبحويتفقالجهد
•	شكل توضيحي (شكل 2 – مخطط متجهات الجهد والمعاوقة وزاوية الطور في دائرة RLC): الرسم الطوري المتجه لمتجهات الجهد VR و VL و VC ومثلث المعاوقة وزاوية الطور فيثاغورس	توضيحيمخططمتجهاتالجهد

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
ب- عند إغلاق الدائرة مع الملف	تبدأ الشحنات في الحركة وتفريغ المكثف عبر الملف فينمو تيار كهربي يولد مجالاً مغناطيسياً متزايداً في الملف وعندما يفرغ المكثف شحنته تماماً (جهده صفر) تكون الطاقة الكهربية قد تحولت بالكامل إلى 'طاقة مغناطيسية' مخزونة في قلب الملف	تبدأالشحناتالحركةوتفريغ
ج- استمرار التفريغ	ينهار المجال المغناطيسي في الملف فيولد قوة دافعة كهربية مستحثة طردية تشحن المكثف من جديد ولكن بقطبية معاكسة (اللوح الذي كان موجباً يصبح سالباً)	ينهارالمجالالمغناطيسيالملف
•	د- تتكرر عملية الشحن والتفريغ وتبادل الطاقة بين المجالين الكهربي والمغناطيسي بتردد رنيني ثابت ومحدد	تتكررعمليةالشحنوالتفريغ

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) حساب المفاعلات (باعتبار π = 3.1416): XL = 2π f L = 2 × 3.1416 × 50 × 0.254 = 80 Ω (أوم)	حسابالمفاعلاتباعتبار1416
•	XC = 1 / (2π f C) = 1 / (2 × 3.1416 × 50 × 79.6 × 10⁻⁶) = 1 / (0.025) = 40 Ω (أوم)	1416
2) حساب المعاوقة الكلية Z	Z = √[R² + (XL – XC)²] = √[30² + (80 – 40)²] = √[30² + 40²] = √[900 + 1600] = √2500 = 50 Ω	16002500
شدة التيار الفعالة المارة	I = V / Z = 200 / 50 = 4 A (أمبير)	أمبير
3) حساب زاوية الطور θ	tan θ = (XL – XC) / R = (80 – 40) / 30 = 40 / 30 = 4/3 = 1.333
•	θ = tan⁻¹(1.333) = 53.13° (درجة)	درجة
•	بما أن XL > XC وتان θ موجبة فإن للدائرة 'خواص حثية' ويتقدم الجهد الكلي على التيار بزاوية طور 53.13°	وتانموجبةللدائرةخواص
مثال نموذجي 2	مسألة في الرنين وتغير سعة المكثف لتعديل المحطة الإذاعية	مسألةالرنينوتغيرالمكثف

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) حساب سعة المكثف C1 عند تردد f1 = 500 kHz = 500 × 10³ Hz: من قانون الرنين: f₀² = 1 / (4π² L C) -> C1 = 1 / (4π² f1² L) C1 = 1 / [4 × (3.1416)² × (500 × 10³)² × (0.2 × 10⁻³)] C1 = 1 / [39.478 × (2.5 × 10¹¹) × (2 × 10⁻⁴)] = 1 / [1.974 × 10⁹] = 5.066 × 10⁻¹⁰ F = 506.6 pF (بيكوفاراد)	حسابالمكثفترددقانون
2) حساب السعة C2 عند تردد f2 = 1000 kHz = 10⁶ Hz	بما أن f يتناسب عكسياً مع جذر C (عند ثبوت L): (f1 / f2)² = C2 / C1 -> (500 / 1000)² = C2 / C1 -> (1/2)² = 1/4 = C2 / C1 C2 = C1 / 4 = 506.6 / 4 = 126.65 pF	يتناسبعكسياثبوت
•	💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets)	أسراروتكاتالتفوقوملاحظات
★ فرق الجهد على الملف قد يتجاوز جهد المصدر عند الرنين	في حالة الرنين إذا كانت المقاومة R صغيرة جداً فإن التيار يرتفع بشدة وتصبح VL = I · XL و VC = I · XC قيمتين هائلتين قد تتجاوز كل منهما جهد المصدر V بعشرات المرات وتعرف هذه النسبة بمعامل الجودة للدائرة Q-factor	حالةكانتالمقاومةصغيرة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
★ الترددات العالية جداً والمنخفضة جداً	عند الترددات العالية جداً تصبح XL ضخمة جداً فيعمل الملف كدائرة مفتوحة بينما تصبح XC صغيرة جداً فيعمل المكثف كسلك عديم المقاومة وعند الترددات المنخفضة جداً أو التيار المستمر (f = 0) ينعكس الأمر تماماً فيعمل المكثف كدائرة مفتوحة	تصبحضخمةفيعملالملف
★ تدريج الأميتر الحراري	تذكر دائماً أن انحراف مؤشر الأميتر الحراري يتناسب مع مربع شدة التيار (θ ∝ I²) فإذا زاد التيار لثلاثة أمثاله زاد انحراف المؤشر إلى تسعة أمثاله (3² = 9)	تذكردائماانحرافمؤشر
•	🌍 التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications)	التطبيقاتالحياتيةوالصناعيةوالتكنولوجية
✔ تكنولوجيا البلوتوث والواي فاي (Wi-Fi)	تعتمد شرائح الاتصال اللاسلكي على دوائر رنين دقيقة ميكروية مدمجة تعمل بترددات الميكروويف (2.4 GHz و 5 GHz) لانتقاء القنوات اللاسلكية واستقبال حزم البيانات المشفرة دون تداخل	تعتمدشرائحالاتصالاللاسلكي

عنصر الدائرة الكهربية	الممانعة الكهربية الحاكمة	علاقة الطور بين الجهد والتيار	مصير الطاقة الكهربية في الدائرة
مقاومة أومية نقية (R)	مقاومة أومية R (أوم)	الجهد والتيار متفقان تماماً في الطور (θ = 0)	تستهلك وتتبدد بالكامل كطاقة حرارية (P = I² R)
ملف حث نقي عديم المقاومة (L)	مفاعلة حثية XL = 2π f L	الجهد يسبق التيار بربع دورة (θ = +90°)	تختزن بالكامل في صورة مجال مغناطيسي دون فقد
مكثف نقي عديم التسريب (C)	مفاعلة سعوية XC = 1/(2π f C)	التيار يسبق الجهد بربع دورة (θ = -90°)	تختزن بالكامل في صورة مجال كهربي دون فقد
دائرة مركبة (R – L – C)	المعاوقة Z = √[R² + (XL – XC)²]	تتعين من tan θ = (XL – XC) / R	تستهلك الطاقة حرارياً في المقاومة R فقط
دائرة RLC في حالة رنين	أقل معاوقة ممكنة Z = R	الجهد والتيار متفقان تماماً في الطور (θ = 0)	أقصى قدرة وتيار Imax يمر في الدائرة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	💡 كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان	كبسولةالمراجعةالسريعةوأهم
★ كبسولة تيار متردد 1	في حالة الرنين تكون المعاوقة Z مساوية للمقاومة R فقط والتيار في قيمته العظمى	حالةالرنينتكونالمعاوقة
★ كبسولة تيار متردد 2	الأميتر الحراري يقيس القيمة الفعالة للتيار المتردد وتدريجه غير منتظم لأن الحرارة تتناسب مع I²	الأميترالحرارييقيسالقيمة
★ كبسولة تيار متردد 3	تردد الرنين يتحدد فقط بمعامل الحث L وسعة المكثف C ولا يتأثر إطلاقاً بالمقاومة الأومية R	الرنينيتحددبمعاملالحث

المناهج الدراسية

الفيزياء

الفصل الأول - التيار الكهربي وقانون أوم وقانونا كيرشوف

الفصل الثاني - التأثير المغناطيسي للتيار الكهربي وأجهزة القياس

الفصل الثالث - الحث الكهرومغناطيسي

الفصل الرابع - دوائر التيار المتردد

الفصل الخامس - ازدواجية الموجة والجسيم

الفصل السادس - الأطياف الذرية والأشعة السينية

الفصل السابع - الليزر وتطبيقاته

الفصل الثامن - الإلكترونيات الحديثة

دروس إضافية

الدرس الثاني: دوائر المعاوقة والرنين والدائرة المهتزة

🌳 شجرة المفاهيم

│ ├── مفهوم المعاوقة

│ ├── العلاقات

│ ├── خواص الدائرة بحسب المفاعلتين

│ ├── القدرة المستهلكة

│ └── تأثير التردد

│ ├── فكرتها

│ ├── مراحل الذبذبة

│ ├── الحالتان المتطرفتان

│ ├── خمود الذبذبات

│ └── تردد الدائرة المهتزة

│ ├── فكرة الرنين

│ ├── الرنين في دائرة كهربية

│ └── خصائص الدائرة عند الرنين

├── الفكرة

├── طريقة العمل

└── أسئلة "علل"

D Scientific Model

مفهوم المعاوقة

طريقة الحساب بالمتجهات

V = √(VR2 + VL2)

Z = √(R2 + XL2)

tan θ = VL / VR = XL / R

✍️ أمثلة محلولة

Z = √(402 + 302) = 50 Ω

I = V / Z = 80 / 50 = 1.6 A

VR = I R = 1.6 × 40 = 64 V

VL = I XL = 1.6 × 30 = 48 V

V = √(VR2 + VC2)

Z = √(R2 + XC2)

tan θ = – VC / VR = – XC / R

✍️ أمثلة محلولة

Z = √(302 + 402) = 50 Ω

I = 100 / 50 = 2 A

tan θ = – 40 / 30 = – 1.33 ← θ ≈ − 53°

الجهد يتأخر عن التيار بزاوية 53°

العلاقات

القدرة المستهلكة

تأثير التردد

✍️ أمثلة محلولة

V = √(402 + (80 – 50)2) = √(1600 + 900) = 50 V

tan θ = (80 – 50) / 40 = 0.75 ← θ ≈ 37°

المقاومة R = VR / I = 40 / 2 = 20 Ω

القدرة P = I2 R = 4 × 20 = 80 W

المعاوقة Z = V / I = 50 / 2 = 25 Ω

فكرتها

مراحل الذبذبة

خمود الذبذبات

تردد الدائرة المهتزة

f = 1 / (2π √(L C))

✍️ أمثلة محلولة

√(10-6) = 10-3

f = 1 / (2 × 3.14 × 10-3) ≈ 159 Hz

فكرة الرنين

الرنين في دائرة كهربية

خصائص الدائرة عند الرنين

✍️ أمثلة محلولة

عند الرنين C = 1 / (4π 2 f2 L)

التيار I = V / R = 20 / 10 = 2 A

الفكرة

طريقة العمل

أسئلة "علل"

31 1 21

© 55

1 0

3 ©

حساسية الجلقانومتر < 29 – عمماة

حساسية الجلقانومتر (4)