3-3-1 مفهوم التمدد

• التمدد تحويل هندسي يعتمد على مركز ثابت O ومعامل تمدد موجب k، فيُحوِّل كل نقطة P إلى نقطة P′ تقع على الشعاع OP بحيث

OP’ = k × OP

• .

• إذا كان k > 1 فهو تكبير.
• إذا كان 0 < k < 1 فهو تصغير.
• إذا كان k = 1 فالصورة تنطبق على الأصل.
• لاحظ صورة الشكل بالتمدد تشابه الشكل الأصلي، ونسبة التشابه هي معامل التمدد k، وكل ضلع في الصورة يوازي نظيره في الأصل.
• معامل التمدد = طول ضلع في الصورة ÷ طول الضلع المناظر في الأصل
• معامل التمدد = بعد صورة نقطة عن المركز ÷ بعد النقطة نفسها عن المركز

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 قطعة AB طولها 4 سم تتمدد بمعامل 2.5. أوجد طول صورتها.
• الحل:

A’B’ = 2.5 × 4 = 10

سم

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 المركز O والنقطة P تبعد عنه 6 سم. صورتها P′ تبعد 15 سم. أوجد معامل التمدد ونوعه.
• الحل:

k = 15 ÷ 6 = 2.5

• k > 1 فالتمدد تكبير.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 المثلث ADE صورة المثلث ABC بتمدد مركزه A حيث AD = 3 سم و AB = 9 سم و BC = 12 سم. أوجد DE.
• الحل:

• الأصل ABC والصورة ADE.

معامل التمدد =

AD ÷ AB = 3 ÷ 9 = 1 / 3

• (تصغير).

DE = (12 × 1) / 3 = 4

سم

3-3-2 التمدد في المستوى الإحداثي

• صورة النقطة (x ، y) بتمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله k هي النقطة (kx ، ky).

(x ، y) → (kx ، ky)

P’ = M + k × (P – M)

1. أي نحسب متجه المركز إلى النقطة
2. نضرب في k ونضيفه للمركز.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 أوجد صورة النقطة A(2 ، 3) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 2.
• الحل:

A′ = (2 × 2 ، 2 × 3) = (4 ، 6)

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 أوجد صورة المثلث A(1 ، 2) و B(3 ، 2) و C(3 ، 5) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 2.
• الحل:

A′ = (2 ، 4)

B′ = (6 ، 4)

C′ = (6 ، 10)

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 أوجد صورة (4 ، 8) و (6 ، 2) بتمدد معامله 1 / 2 ومركزه الأصل.
• الحل:

(4 ، 8) → (2 ، 4)

(6 ، 2) → (3 ، 1)

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 4 صورة النقطة (3 ، 6) بتمدد مركزه الأصل هي (1 ، 2). أوجد المعامل.
• الحل:

k = 1 ÷ 3 = 1 / 3

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 5 أوجد صورة النقطة P(2 ، 3) بتمدد مركزه M(1 ، 1) ومعامله 3.
• الحل:

P − M = (1 ، 2)

3 × (1 ، 2) = (3 ، 6)

P′ = (1 + 3 ، 1 + 6) = (4 ، 7)