3-5-1 نسب الزوايا 30° و 45° و 60°

• يمكن استنتاج هذه النسب من مثلثين خاصين.

sin 30° = 1 / 2

،

cos 30° = √3 / 2

،

tan 30° = 1 / √3

sin 45° = 1 / √2

،

cos 45° = 1 / √2

، tan 45° = 1

sin 60° = √3 / 2

،

cos 60° = 1 / 2

،

tan 60° = √3

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة sin² 30° + cos² 30°.
2. الحل:

sin 2 30° = (1 / 2)2 = 1 / 4

cos 2 30° = (√3 / 2)2 = 3 / 4

المجموع =

1 / 4 + 3 / 4 = 1

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة 2 sin 30° × cos 60° + tan 45°.
2. الحل:

((2 × 1) / 2 × 1) / 2 = 1 / 2

tan 45° = 1

الناتج =

1 / 2 + 1 = 3 / 2

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة sin 60° × cos 30° − cos 60° × sin 30°.
2. الحل:

sin 60° × cos 30° = (√3 / 2)(√3 / 2) = 3 / 4

cos 60° × sin 30° = (1 / 2)(1 / 2) = 1 / 4

الناتج =

3 / 4 – 1 / 4 = 1 / 2

1. تذكر:
2. عكس قيم 30° و 60°؛
3. نسيان تربيع الجذر

   (√3 / 2)² = 3 / 4

   وليس √3 / 4.

3-5-2 تطبيقات على الزوايا الخاصة

• نستخدم النسب الخاصة لإيجاد أطوال دون آلة حاسبة.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 مثلث قائم فيه إحدى الزوايا 30° ووتره 12 سم. أوجد الضلعين القائمين.
• الحل:

المقابل للزاوية

30° = 12 × sin 30° = (12 × 1) / 2 = 6

سم

المجاور =

12 × cos 30° = (12 × √3) / 2 = 6√3 ≈ 10.39

سم

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 أشعة الشمس تصنع زاوية 45° مع الأرض. ما طول ظل مسلة ارتفاعها 40 م؟
• الحل:

tan 45° = الارتفاع ÷ الظل

1 = 40 ÷ الظل

الظل = 40 م

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 برج ظله 20 م عندما تصنع الشمس زاوية 60° مع الأرض. أوجد ارتفاع البرج.
• الحل:

tan 60° = الارتفاع ÷ 20

الارتفاع =

20 × √3 = 20√3 ≈ 34.64

م

3-5-3 استخدام الآلة الحاسبة

• نستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد النسبة لزاوية معلومة، وإيجاد الزاوية إذا عُلمت نسبتها.

• اضبط الآلة على نظام الدرجات (Degree).
• لإيجاد sin 25° اضغط sin ثم 25 ثم =.
• لإيجاد الزاوية نستخدم المفتاح الثاني shift ثم sin⁻¹ (أو cos⁻¹ أو tan⁻¹).
• لاحظ القيم التقريبية:

sin 25° ≈ 0.4226

و

cos 40° ≈ 0.7660

و

tan 70° ≈ 2.7475

• .

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة sin 25° و cos 40° لأقرب أربعة أرقام عشرية.
2. الحل:

sin 25° ≈ 0.4226

cos 40° ≈ 0.7660

1. أوجد قياس الزاوية θ حيث sin θ = 0.8 لأقرب درجة.
2. الحل:

θ = sin -1 (0.8) ≈ 53.13°

θ ≈ 53°

• مثال 3 مثلث قائم ضلعاه القائمان 3 سم و 4 سم. أوجد قياس الزاوية الحادة المقابلة للضلع 3 سم.
• الحل:

tan θ = 3 ÷ 4 = 0.75

θ = tan -1 (0.75) ≈ 36.87°

• مثال 4 سلم طوله 6 م يصنع زاوية 70° مع الأرض. ما ارتفاع النقطة التي يلمس بها الحائط؟
• الحل:

الارتفاع = 6 × sin 70°

sin 70° ≈ 0.9397

الارتفاع ≈ 5.64 م