3-4-1 أضلاع المثلث القائم بالنسبة لزاوية

• في المثلث القائم الزاوية نسمي الأضلاع بالنسبة لزاوية حادة θ كما يلي.

3-4-2 تعريف الجيب وجيب التمام والظل

• النسب المثلثية للزاوية الحادة θ.

sin θ = المقابل ÷ الوتر

cos θ = المجاور ÷ الوتر

tan θ = المقابل ÷ المجاور

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 المثلث ABC قائم في B فيه AB = 8 سم و BC = 6 سم. أوجد النسب المثلثية للزاوية A.
• الحل:

AC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

AC = 10 سم

sin A = 6 ÷ 10 = 3 / 5

cos A = 8 ÷ 10 = 4 / 5

tan A = 6 ÷ 8 = 3 / 4

✍️ أمثلة محلولة

sin θ = 5 / 13

1. فأوجد cos θ و tan θ حيث θ حادة.
2. الحل:
3. المقابل = 5 والوتر = 13.

المجاور =

√(132 – 52) = √(169 – 25) = √144 = 12

cos θ = 12 / 13

tan θ = 5 / 12

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 في المثلث ABC القائم في B إذا كان cos C = 0.6 وكان AC = 20 سم. أوجد BC و AB.
• الحل:

cos C = BC ÷ AC

BC = 0.6 × 20 = 12

سم

AB = √(202 – 122) = √(400 – 144) = √256 = 16

سم

3-4-3 إيجاد أطوال الأضلاع واستخدام زاويتين متتامتين

• نستخدم النسبة المناسبة للمعطيات لإيجاد ضلع مجهول.

sin A = cos B

cos A = sin B

tan A × tan B = 1

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 سلم طوله 5 م يستند إلى حائط ويصنع زاوية قياسها θ مع الأرض حيث sin θ = 0.8. ما ارتفاع النقطة التي يلمس بها الحائط؟
• الحل:

sin θ = الارتفاع ÷ طول السلم

الارتفاع = 0.8 × 5 = 4 م

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 إذا كان sin A = 4 / 5 وكانت A و B متتامتين فما cos B؟
• الحل:

cos B = sin A

• لأن الزاويتين متتامتان.

cos B = 4 / 5

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 مثلث قائم فيه tan A = 3 / 4 وطول الضلع المجاور للزاوية A هو 20 سم. أوجد المقابل والوتر.
• الحل:

المقابل =

(20 × 3) / 4 = 15

سم

الوتر =

√(202 + 152) = √(400 + 225) = √625 = 25

سم

1. تذكر:
2. اختيار نسبة غير مناسبة للمعطيات؛
3. نسيان أن

   sin A = cos B

   تنطبق على الزاويتين المتتامتين فقط.