3-6-1 ميل المستقيم

• ميل المستقيم المار بالنقطتين (x₁ ، y₁) و (x₂ ، y₂) هو النسبة بين التغير الرأسي والتغير الأفقي.
• m = (y₂ – y₁) ÷ (x₂ – x₁)
• حيث x₁ ≠ x₂

• المستقيم الأفقي ميله 0.
• المستقيم الرأسي ميله غير معرف.
• ميل المستقيم = ظل زاوية ميله مع الاتجاه الموجب لمحور السينات m = tan θ.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين A(1 ، 2) و B(5 ، 10).
• الحل:

m = (10 – 2) ÷ (5 – 1) = 8 ÷ 4 = 2

• مثال 2 أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين (−2 ، 3) و (4 ، −3).
• الحل:

m = (-3 – 3) ÷ (4 – (-2)) = -6 ÷ 6 = -1

زاوية ميله 135° لأن

tan 135° = -1

• .

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد ميل مستقيم يصنع زاوية 60° مع محور السينات.
2. الحل:

m = tan 60° = √3

3-6-2 المستقيمان المتوازيان

• المستقيمان غير الرأسيين يتوازيان إذا وفقط إذا تساوى ميلاهما.

m₁ = m₂

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 هل AB ∥ CD حيث A(1 ، 2) و B(5 ، 10) و C(0 ، 1) و D(2 ، 5)؟
• الحل:

ميل

AB = (10 – 2) ÷ (5 – 1) = 2

ميل

CD = (5 – 1) ÷ (2 – 0) = 2

1. الميلان متساويان.
2. إذن AB ∥ CD.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 أوجد قيمة k إذا كان المستقيم المار بـ (1 ، 2) و (3 ، k) يوازي مستقيمًا ميله 3.
• الحل:

(k – 2) ÷ (3 – 1) = 3

k − 2 = 6

k = 8

• مثال 3 برهن أن النقاط A(0 ، 0) و B(2 ، 1) و C(4 ، 2) على استقامة واحدة.
• الحل:

ميل AB = 1 ÷ 2

ميل

BC = (2 – 1) ÷ (4 – 2) = 1 / 2

1. الميلان متساويان والنقطة B مشتركة.
2. إذن النقاط على استقامة واحدة.

3-6-3 المستقيمان المتعامدان

• المستقيمان غير الرأسيين وغير الأفقيين يتعامدان إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي −1.

m1 × m2 = -1

• أي إن ميل أحدهما هو سالب مقلوب ميل الآخر:

m2 = -1 ÷ m1

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 برهن أن المثلث A(1 ، 1) و B(3 ، 5) و C(7 ، 3) قائم الزاوية في B.
• الحل:

ميل

AB = (5 – 1) ÷ (3 – 1) = 2

ميل

BC = (3 – 5) ÷ (7 – 3) = -2 / 4 = -1 / 2

حاصل الضرب =

2 × (-1 / 2) = -1

• إذن AB ⊥ BC والمثلث قائم في B.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد ميل المستقيم العمودي على مستقيم ميله 3 / 4.
2. الحل:

m2 = -1 ÷ (3 / 4) = -4 / 3

1. ميل المستقيم 2x + 3y = 6 هو؟ وما ميل العمودي عليه؟
2. الحل:

y = -2x + 6

y = -(2 / 3)x + 2

الميل = -2 / 3

ميل العمودي = 3 / 2