مثال (1): قوتان متعامدتان

• تؤثر قوة 3 نيوتن نحو الشرق وقوة 4 نيوتن نحو الشمال في نقطة واحدة. أوجد محصلتهما.
• الحل:

1. نأخذ الشرق محوراً أفقياً موجباً والشمال محوراً رأسياً موجباً.
2. ∑ س = 3 + 0 = 3 نيوتن، و∑ ص = 0 + 4 = 4 نيوتن.
3. ر = √(3² + 4²) = √25 = 5 نيوتن.
4. ظا θ = 4 ÷ 3، ومنها θ ≈ 53.13° شمال الشرق.

مثال (2): قوى في أكثر من ربع

• تؤثر في نقطة ثلاث قوى 6 نيوتن في اتجاه الموجب لمحور السينات، و8 نيوتن في اتجاه الموجب لمحور الصادات، و10 نيوتن تصنع زاوية 180° مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. أوجد المحصلة.
• الحل:

1. ∑ س = 6 + 0 + 10 × جتا 180° = 6 − 10 = −4 نيوتن.
2. ∑ ص = 0 + 8 + 10 × جا 180° = 8 + 0 = 8 نيوتن.
3. ر = √((−4)² + 8²) = √80 = 4√5 ≈ 8.94 نيوتن.
4. ظا θ = 8 ÷ (−4) = −2. المحصلة تقع في الربع الثاني، لذا θ ≈ 116.57° من الاتجاه الموجب لمحور السينات.

مثال (3): استخدام القيم الخاصة

• تؤثر في نقطة ثلاث قوى 10 نيوتن في اتجاه محور السينات، و6 نيوتن تصنع زاوية 60° مع المحور نفسه، و6 نيوتن تصنع زاوية 180° معه. أوجد مقدار المحصلة واتجاهها.
• الحل:

1. ∑ س = 10 + 6 × جتا 60° + 6 × جتا 180° = 10 + 3 − 6 = 7 نيوتن.
2. ∑ ص = 0 + 6 × جا 60° + 0 = 6 × √3 ÷ 2 = 3√3 ≈ 5.20 نيوتن.
3. ر = √(7² + (3√3)²) = √(49 + 27) = √76 = 2√19 ≈ 8.72 نيوتن.
4. ظا θ = 3√3 ÷ 7 ≈ 0.742، ومنها θ ≈ 36.59°.

مثال (4): ثلاث قوى متساوية المقدار

• تؤثر في نقطة ثلاث قوى مقدار كل منها 8 نيوتن، وتصنع الزوايا 30° و90° و150° مع الاتجاه الموجب لمحور السينات على الترتيب.
• أوجد المحصلة.
• الحل:

1. ∑ س = 8 × جتا 30° + 8 × جتا 90° + 8 × جتا 150° = 8 × √3 ÷ 2 + 0 − 8 × √3 ÷ 2 = 0.
2. ∑ ص = 8 × جا 30° + 8 × جا 90° + 8 × جا 150° = 4 + 8 + 4 = 16 نيوتن.
3. المحصلة = 16 نيوتن، وتؤثر رأسياً لأعلى (في اتجاه 90°).