مثال (1): كتابة المعادلة بمعلومية المركز ونصف القطر

• أوجد معادلة الدائرة التي مركزها (2، −3) ونصف قطرها 4، ثم تحقق هل النقطة (2، 1) تقع عليها.
• الحل:

1. (س − 2)² + (ص + 3)² = 4² = 16.
2. (2 − 2)² + (1 + 3)² = 0 + 16 = 16.
3. الطرفان متساويان، إذن النقطة (2، 1) تقع على الدائرة.

مثال (2): تحويل المعادلة العامة إلى الصورة القياسية

• أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها إذا كانت معادلتها س² + ص² − 4س + 6ص − 3 = 0.
• الحل:

مثال (3): دائرة أحد قطريها معلوم

• أوجد معادلة الدائرة التي طرفا قطر فيها النقطتان A(1، 2) وB(5، 6).
• الحل:

مثال (4): وضع نقطة بالنسبة لدائرة مركزها نقطة الأصل

• أوجد معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل وتمر بالنقطة (3، 4)، ثم بيّن وضع النقطة (4، 4) بالنسبة لها.
• الحل:

مثال (5): دائرة تمس محور الصادات

• أوجد معادلة الدائرة التي مركزها (−1، 2) وتمس محور الصادات (ص).
• الحل:

1. بُعد المركز عن محور الصادات = |−1| = 1، وهو يساوي نصف القطر لأن الدائرة تمس المحور.
2. (س + 1)² + (ص − 2)² = 1.

مثال (6): معادلة لا تمثل دائرة حقيقية

• بيّن هل المعادلة س² + ص² + 2س − 4ص + 6 = 0 تمثل دائرة حقيقية.
• الحل:

1. ل = 1، ك = −2، ج = 6.
2. ل² + ك² − ج = 1 + 4 − 6 = −1 < 0.
3. إذن المعادلة لا تمثل دائرة حقيقية، لأنه لا توجد نقط تحقق المعادلة.