المثال الأول: دالة خطية متزايدة

• بيّن أن الدالة د(س) = 2س + 1 متزايدة على ح.
• الحل لنأخذ أ = 1 و ب = 2. د(1) = 3 و د(2) = 5، والقيمة الثانية أكبر. ولإثبات ذلك لكل أ < ب: د(ب) − د(أ) = 2(ب − أ) > 0 لأن ب − أ > 0. إذن الدالة متزايدة على ح.

المثال الثاني: دالة خطية متناقصة

• ادرس اطراد الدالة ق(س) = 4 − 3س.
• الحل ق(أ) − ق(ب) = (4 − 3أ) − (4 − 3ب) = 3(ب − أ) > 0 لكل أ < ب. أي أن ق(أ) > ق(ب)، إذن الدالة متناقصة على ح.

المثال الثالث: دالة تربيعية

المثال الرابع: دالة بالقيمة المطلقة

• ادرس اطراد الدالة ه(س) = |س − 1|.
• الحل إذا كان س < 1 فإن ه(س) = 1 − س، وهي متناقصة. وإذا كان س ≥ 1 فإن ه(س) = س − 1، وهي متزايدة. إذن الدالة متناقصة على ]−∞، 1] ومتزايدة على [1، ∞[.

المثال الخامس: دالة معرفة بقاعدتين

• لتكن د(س) = س² عندما س ≤ 0، و د(س) = 2س عندما س > 0. ادرس اطرادها.
• الحل على الفترة ]−∞، 0] الدالة س² متناقصة، لأن كلما زادت س (نحو الصفر) نقصت س². وعلى الفترة ]0، ∞[ الدالة 2س متزايدة. عند س = 0 تكون د(0) = 0، فالدالة متناقصة على ]−∞، 0] ومتزايدة على [0، ∞[.

المثال السادس: إيجاد ثابت يحقق شرط الاطراد

1. لتكن د(س) = س² + ك س. أوجد قيم ك التي تجعل الدالة متزايدة على الفترة [3
2. ∞[.