المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات العامة — الصف الثاني الثانوي

الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

0/28

الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقاتها

0/27

الوحدة الثالثة: النهايات

0/15

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

0/10
نص الدرس

قاعدة جيب التمام

الرياضيات العامة — الصف الثاني الثانوي

قاعدة جيب التمام

نص قاعدة جيب التمام

نص قاعدة جيب التمام

  1. في أي مثلث أ ب ج
  2. إذا كانت أ و ب و ج أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا A و B و C على الترتيب
  3. فإن:
حبلان طولاهما 5 م و7 م بينهما 60 درجة يمثلان قاعدة جيب التمام فالبعد بين الوتدين جذر 39 أي 6.24 م.
حبلان طولاهما 5 م و7 م بينهما 60 درجة يمثلان قاعدة جيب التمام فالبعد بين الوتدين جذر 39 أي 6.24 م.

أ2 = ب2 + ج2 − 2 ب ج جتا A

  • وبالمثل ب2 = أ2 + ج2 − 2 أ ج جتا B، و ج2 = أ2 + ب2 − 2 أ ب جتا C.
  • ويمكن كتابة القاعدة على صورة أخرى لإيجاد الزاوية:

جتا A = (ب2 + ج2 − أ2) / (2 ب ج)

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•وتستخدم القاعدة في حالتينوتستخدمالقاعدةحالتين
ضلعان والزاوية المحصورة بينهمالإيجاد الضلع الثالثلإيجادالضلعالثالث
الأضلاع الثلاثةلإيجاد أي زاوية من زوايا المثلثلإيجادزاويةزواياالمثلث
ملاحظة
  • إذا كانت الزاوية A قائمة فإن جتا A = 0
  • فتصبح القاعدة هي نظرية فيثاغورس: أ2 = ب2 + ج2
كانتالزاويةقائمةفتصبح
قاعدة جيب التمام · 1 / 5
نوع الزاوية من إشارة جيب التمام

نوع الزاوية من إشارة جيب التمام

  • نستخدم الصيغة جتا A = (ب2 + ج2 − أ2) / (2 ب ج) لتحديد نوع الزاوية:
إشارة البسط (ب2 + ج2 − أ2) نوع الزاوية A
موجب حادة
صفر قائمة
سالب منفرجة
  1. وهذا يعني أن أكبر ضلع في المثلث هو المقابل لأكبر زاوية
  2. وإذا كان مربع أكبر ضلع أكبر من مجموع مربعي الضلعين الآخرين
  3. فالمثلث منفرج الزاوية.
قاعدة جيب التمام · 2 / 5
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

المثال الأول: إيجاد الضلع الثالث

  • في مثلث ب = 5 سم، ج = 7 سم، و A = 60°. أوجد أ.
  • الحل أ2 = 52 + 72 − 2 × 5 × 7 × جتا 60° = 25 + 49 − 70 × 0.5 = 74 − 35 = 39. إذن أ = √39 ≈ 6.25 سم.

المثال الثاني: إيجاد زاوية من الأضلاع الثلاثة

  • في مثلث أ = 7 سم، ب = 8 سم، ج = 9 سم. أوجد الزاوية A.
  • الحل جتا A = (82 + 92 − 72) / (2 × 8 × 9) = (64 + 81 − 49) / 144 = 96 / 144 = 2/3. إذن A ≈ 48.2°.

المثال الثالث: تحديد الزاوية الكبرى

  • مثلث أضلاعه 5 سم و 6 سم و 8 سم. أوجد الزاوية C المقابلة للضلع 8 سم، وحدد نوعها.
  • الحل جتا C = (52 + 62 − 82) / (2 × 5 × 6) = (25 + 36 − 64) / 60 = −3 / 60 = −0.05. إذن C ≈ 92.9°.
  • البسط سالب، لذلك الزاوية C منفرجة. وهي أكبر زاوية في المثلث لأنها تقابل أكبر ضلع.

المثال الرابع: التحقق من مثلث قائم

  • مثلث أضلاعه 5 و 12 و 13. هل هو قائم الزاوية؟
  • الحل أكبر ضلع هو 13. نحسب جتا الزاوية المقابلة له: (52 + 122 − 132) / (2 × 5 × 12) = (25 + 144 − 169) / 120 = 0. إذن الزاوية 90°، والمثلث قائم الزاوية.

المثال الخامس: مسألة حياتية

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • سارت سيارة 8 كم في اتجاه
  • ثم تحركت سيارة أخرى 15 كم من نفس النقطة
  • وكانت الزاوية بين الاتجاهين 60°. ما المسافة بين السيارتين؟
سارتسيارةاتجاهتحركت
الحلالمسافة هي الضلع المقابل للزاوية 60°، أي: د2 = 82 + 152 − 2 × 8 × 15 × جتا 60° = 64 + 225 − 120 = 169. إذن د = 13 كم.المسافةالضلعالمقابلللزاوية
التحقق169 = 132، والنتيجة صحيحة.والنتيجةصحيحة

المثال السادس: ضلع بقيمة عشرية

  1. في مثلث أ = 10 سم
  2. ب = 12 سم
  3. و C = 40°. أوجد ج
  4. وهو الضلع المقابل للزاوية C.
الحل←ج2 = 102 + 122 − 2 × 10 × 12 × جتا 40° = 100 + 144 − 240 × 0.7660 ≈ 244 − 183.8 = 60.2. إذن ج ≈ √60.2 ≈ 7.76 سم.
قاعدة جيب التمام · 3 / 5
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

نسيان الحد −2 ب ج جتا Aالقاعدة لا تساوي مجموع مربعي الضلعين فقط، بل تطرح الحد الذي يحتوي على جيب التمام.
نسيان الجذر التربيعيالقاعدة تعطي مربع الضلع، فيجب أن نأخذ الجذر في النهاية.
الخلط بين الضلع المقابل والضلع المحصورالضلع المقابل للزاوية هو الضلع الذي لا يلمس رأسها، وهو الذي نحسبه بالقاعدة.
إشارة جيب التمام للزاوية المنفرجةإذا كانت الزاوية منفرجة فإن جتا تكون سالبة، فيزيد الحد المطروح ويصبح الضلع أطول.
قاعدة جيب التمام · 4 / 5
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • أ2 = ب2 + ج2 − 2 ب ج جتا A، وبالمثل لبقية الأضلاع.
  • جتا A = (ب2 + ج2 − أ2) / (2 ب ج).
  • تُستخدم القاعدة عند معلومية ضلعين والزاوية بينهما، أو الأضلاع الثلاثة.
  • إذا كانت A قائمة تصبح القاعدة نظرية فيثاغورس.
قاعدة جيب التمام · 5 / 5