المثال الأول: إيجاد الضلع الثالث

• في مثلث ب = 5 سم، ج = 7 سم، و A = 60°. أوجد أ.
• الحل أ² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × جتا 60° = 25 + 49 − 70 × 0.5 = 74 − 35 = 39. إذن أ = √39 ≈ 6.25 سم.

المثال الثاني: إيجاد زاوية من الأضلاع الثلاثة

• في مثلث أ = 7 سم، ب = 8 سم، ج = 9 سم. أوجد الزاوية A.
• الحل جتا A = (8² + 9² − 7²) / (2 × 8 × 9) = (64 + 81 − 49) / 144 = 96 / 144 = 2/3. إذن A ≈ 48.2°.

المثال الثالث: تحديد الزاوية الكبرى

• مثلث أضلاعه 5 سم و 6 سم و 8 سم. أوجد الزاوية C المقابلة للضلع 8 سم، وحدد نوعها.
• الحل جتا C = (5² + 6² − 8²) / (2 × 5 × 6) = (25 + 36 − 64) / 60 = −3 / 60 = −0.05. إذن C ≈ 92.9°.
• البسط سالب، لذلك الزاوية C منفرجة. وهي أكبر زاوية في المثلث لأنها تقابل أكبر ضلع.

المثال الرابع: التحقق من مثلث قائم

• مثلث أضلاعه 5 و 12 و 13. هل هو قائم الزاوية؟
• الحل أكبر ضلع هو 13. نحسب جتا الزاوية المقابلة له: (5² + 12² − 13²) / (2 × 5 × 12) = (25 + 144 − 169) / 120 = 0. إذن الزاوية 90°، والمثلث قائم الزاوية.

المثال الخامس: مسألة حياتية

المثال السادس: ضلع بقيمة عشرية

1. في مثلث أ = 10 سم
2. ب = 12 سم
3. و C = 40°. أوجد ج
4. وهو الضلع المقابل للزاوية C.