المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي

المتجهات في الفراغ الإحداثي

في الفراغ ثلاثي الأبعاد نستخدم ثلاثة محاور متعامدة مثل س وص وع، وتتقاطع في نقطة الأصل (0، 0، 0).
كل نقطة في الفراغ تُعين بثلاثة إحداثيات (أ، ب، ج).

كابلان من ركن الغرفة إلى نقطتين يمثلان المتجهات في الفراغ ثلاثي الأبعاد: |أ| = 3 و|ب| = 3 والجداء القياسي صفر.

المتجه المقيد بين نقطتين أ(س₁، ص₁، ع₁) و ب(س₂، ص₂، ع₂) هو المتجه AB، ومركباته هي:

AB = (س2 − س1، ص2 − ص1، ع2 − ع1)

أي أن مركبات المتجه تُحسب بطرح إحداثيات بداية المتجه من إحداثيات نهايته.

المتجه الموضعي والمقدار

المتجه الموضعي للنقطة (أ، ب، ج) هو المتجه الذي بدايته نقطة الأصل ونهايته النقطة نفسها، ويُكتب (أ، ب، ج) أو أ ل + ب م + ج ن حيث ل و م و ن متجهات الوحدة في اتجاهات المحاور.
مقدار المتجه a = (س، ص، ع) هو طوله، ويُحسب بالعلاقة:
|a| = √(س² + ص² + ع²)

متجه الوحدة

متجه الوحدة في اتجاه المتجه a غير الصفري هو المتجه a ÷ |a|، ومقداره يساوي الواحد الصحيح.
فمثلاً متجه الوحدة في اتجاه (3، 0، 4) هو (3 ÷ 5، 0، 4 ÷ 5).

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 1 / 8

العمليات على المتجهات

إذا كان a = (س₁، ص₁، ع₁) و b = (س₂، ص₂، ع₂) وكان ك عدداً حقيقياً، فإن:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الجمع والطرح	a ± b = (س₁ ± س₂، ص₁ ± ص₂، ع₁ ± ع₂).
الضرب في عدد	ك a = (ك س₁، ك ص₁، ك ع₁).
التوازي	المتجهان a و b متوازيان إذا وُجد عدد ك بحيث b = ك a	المتجهانمتوازيانبحيث
•	ويجب أن نلاحظ أن الضرب في عدد يغير طول المتجه ولا يغير اتجاهه إلا إذا كان العدد سالباً فيصبح الاتجاه معاكساً	ويجبنلاحظالضربيغير

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 2 / 8

الضرب القياسي

التعريف الجبري

الضرب القياسي (الضرب النقطي) للمتجهين a = (س₁، ص₁، ع₁) و b = (س₂، ص₂، ع₂) هو عدد حقيقي، ويُكتب a · b، ويُحسب بالعلاقة:
a · b = س₁ س₂ + ص₁ ص₂ + ع₁ ع₂

التعريف الهندسي والزاوية بين متجهين

إذا كانت θ هي الزاوية المحصورة بين المتجهين، فإن a · b = |a| |b| جتا θ. ومنها نجد قانون الزاوية:
جتا θ = (a · b) ÷ (|a| |b|)

الضرب القياسي إبدالي a · b = b · a.
إذا كان a · b = 0 فإن المتجهين متعامدان، بشرط أن يكون كل منهما غير صفري.
a · a = |a|²، وهذا يفسر العلاقة بين الضرب القياسي والمقدار.
الضرب القياسي ناتج عدد وليس متجهاً.

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 3 / 8

الضرب الاتجاهي

التعريف والصيغة

الضرب الاتجاهي (الضرب المتجهي) للمتجهين a و b ناتج متجه يُكتب a × b، ويُحسب بالمحدد:
a × b = (ص₁ ع₂ − ع₁ ص₂، ع₁ س₂ − س₁ ع₂، س₁ ص₂ − ص₁ س₂)
ويمكن تذكر هذه الصيغة بتكوين محدد 3 × 3 صفه الأول متجهات الوحدة ل، م، ن، والصفان التاليان مركبات المتجهين، ثم نفكه على الصف الأول.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
التعامد	المتجه a × b عمودي على كل من a و b أي أن (a × b) · a = 0 و (a × b) · b = 0	المتجهعمودي
المقدار	\|a × b\| = \|a\| \|b\| جا θ وهو يساوي مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهين	يساويمساحةمتوازيالأضلاع
عدم الإبدال	b × a = − (a × b) أي أن ترتيب الضرب يغير الاتجاه	ترتيبالضربيغيرالاتجاه
التوازي	a × b = 0 إذا كان المتجهان متوازيين	المتجهانمتوازيين
متجهات الوحدة	ل × م = ن م × ن = ل ن × ل = م والعكس بالعكس	والعكسبالعكس
ويمكن فهم اتجاه الضرب الاتجاهي بقاعدة اليد اليمنى	نضع أصابع اليد اليمنى في اتجاه المتجه الأول a ثم نطويها نحو المتجه الثاني b فيشير الإبهام إلى اتجاه a × b. ولهذا تكون ل × م في اتجاه المحور الموجب للحرف ن	أصابعالمتجهالأولنطويها
•	وبما أن الضرب الاتجاهي يعتمد على ترتيب المتجهين فإن أي حساب لمساحة أو اتجاه يجب أن يلتزم بالترتيب الذي يحدده السؤال أو بعلامة القيمة المطلقة عند الحاجة إلى المقدار فقط	وبماالضربالاتجاهييعتمد

الضرب الثلاثي القياسي

إذا كان لدينا ثلاثة متجهات a و b و c فإن الكمية a · (b × c) تسمى الضرب الثلاثي القياسي، ومقدارها يساوي حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات الثلاثة.
ولذلك نستخدم القيمة المطلقة للحجم:
الحجم = |a · (b × c)|

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 4 / 8

تطبيقات: المساحات والحجوم

مساحة متوازي الأضلاع والمثلث

مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهين a و b تساوي |a × b|.
ومساحة المثلث الذي رأسه A ويقع فيه الضلعان AB و AC تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع:
مساحة المثلث ABC = ½ |AB × AC|

حجم متوازي السطوح والهرم

حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات a و b و c يساوي |a · (b × c)|، وحجم الهرم الثلاثي الذي يشترك مع متوازي السطوح نفسه في الأضلاع الثلاثة من رأس واحد يساوي سدس هذا الحجم، أي (1 ÷ 6) |a · (b × c)|.
وتفيد هذه العلاقات في حساب المساحات والحجوم في الأشكال الفراغية دون الحاجة إلى الرسم الدقيق.

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 5 / 8

أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الأول: مقدار المتجه.	أوجد مقدار المتجه a = 2ل − م + 2ن	أوجد
الحل	المركبات هي (2 إذن \|a\| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3	المركبات
المثال الثاني: الزاوية بين متجهين.	أوجد الزاوية بين المتجهين a = (1 −1) و b = (3 4) لأقرب درجة	أوجدالمتجهينلأقربدرجة
الحل	a · b = 3 − 4 − 4 = −5. \|a\| = √6 و \|b\| = √29. إذن جتا θ = −5 ÷ (√6 × √29) = −5 ÷ √174 ≈ −0.379. ومنها θ ≈ 112°	ومنها
المثال الثالث: حساب الضرب الاتجاهي.	إذا كان a = (1 3) و b = (2 أوجد a × b وتحقق من أنه عمودي على a	أوجدوتحققعمودي
الحل	a × b = (2 × 1 − 3 × 0 3 × 2 − 1 × 1 1 × 0 − 2 × 2) = (2 −4)
التحقق	−4) · (1 3) = 2 + 10 − 12 = 0 إذن المتجهان متعامدان	المتجهانمتعامدان
المثال الرابع: مساحة مثلث في الفراغ.	النقط A(1 0) و B(0 0) و C(0 3) رؤوس مثلث. أوجد مساحته	النقطرؤوسأوجدمساحته

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الحل	AB = (−1 0) و AC = (−1 3). فيكون	فيكون
•	AB × AC = (2 × 3 − 0 × 0 0 × (−1) − (−1) × 3 (−1) × 0 − 2 × (−1)) = (6
•	\|AB × AC\| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7 إذن مساحة المثلث = ½ × 7 = 3.5 وحدة مساحة	مساحةالمثلثوحدة
المثال الخامس: حجم متوازي السطوح.	أوجد حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات a = (1 0) و b = (0 1) و c = (2	أوجدالمبنيالمتجهات
الحل	b × c = (1 × 1 − 1 × 0 1 × 2 − 0 × 1 0 × 0 − 1 × 2) = (1 −2)
•	a · (b × c) = 1 × 1 + 2 × 2 + 0 × (−2) = 5 إذن الحجم = \|5\| = 5 وحدات حجم	الحجموحدات
المثال السادس: الشرط العمودي.	أوجد قيمة ك التي تجعل المتجهين a = (ك −1) و b = (1 2) متعامدين	أوجدقيمةتجعلالمتجهين
الحل	شرط التعامد a · b = 0 أي ك × 1 + 2 × (−3) + (−1) × 2 = 0. إذن ك − 6 − 2 = 0 ومنها ك = 8	التعامدومنها

المثال السابع: المتجه العمودي على مستوى ومعادلته. أوجد متجهاً عمودياً على المستوى المار بالنقط A(1، 0، 0) و B(0، 1، 0) و C(0، 0، 1)، ثم أوجد معادلة هذا المستوى ومساحة المثلث ABC.
الحل AB = (−1، 1، 0) و AC = (−1، 0، 1). فيكون:
AB × AC = (1 × 1 − 0 × 0، 0 × (−1) − (−1) × 1، (−1) × 0 − 1 × (−1)) = (1، 1، 1).
المتجه (1، 1، 1) عمودي على المستوى، ومعادلته تكون 1(س − 1) + 1(ص − 0) + 1(ع − 0) = 0، أي س + ص + ع = 1.
التحقق النقط الثلاث تحقق المعادلة لأن كلاً منها مجموع إحداثياته يساوي 1.
مساحة المثلث = ½ |(1، 1، 1)| = ½ √3 وحدة مساحة.
المثال الثامن: إشارة الضرب الثلاثي. إذا كان حجم متوازي السطوح المبني على a و b و c يساوي 1، فما قيمة a · (b × c) إذا كان المتجهات الثلاثة بالترتيب (1، 0، 0) و (0، 1، 0) و (0، 0، 1)؟

الحل←b × c = (0، 1، 0) × (0، 0، 1) = (1، 0، 0). فيكون a · (b × c) = (1، 0، 0) · (1، 0، 0) = 1، وهي موجبة. ولو بدّلنا ترتيب المتجهين b و c لتغيرت الإشارة إلى −1، بينما يبقى الحجم 1 لأنه يؤخذ بالقيمة المطلقة.

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 6 / 8

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الخطأ في طرح الإحداثيات عند إيجاد المتجه بين نقطتين	المتجه AB هو (نهاية − بداية) وليس (بداية − نهاية)	نهايةبدايةوليس
الخلط بين الضرب القياسي والاتجاهي	الناتج القياسي عدد أما الاتجاهي فهو متجه عمودي على المستوى الذي يضم المتجهين	الناتجمتجهعموديالمستوى
إغفال الإشارة في الضرب الاتجاهي	b × a = − (a × b) فإذا عكس الطالب الترتيب يجب أن يغير الإشارة	فإذاالطالبالترتيبيغير
الخطأ في حساب المساحة	مساحة المثلث تساوي نصف مقدار الضرب الاتجاهي وليس المقدار نفسه	المثلثتساويمقدارالضرب
نسيان القيمة المطلقة في الحجم	الضرب الثلاثي القياسي قد يكون سالباً والحجم دائماً موجب	الضربالثلاثيالقياسييكون

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 7 / 8

ملخص الدرس

مركبات المتجه المقيد AB = (نهاية − بداية)، ومقداره √(س² + ص² + ع²).
الضرب القياسي a · b = س1س2 + ص1ص2 + ع1ع2 = |a| |b| جتا θ.
المتجهان المتعامدان يحققان a · b = 0.
الضرب الاتجاهي متجه عمودي على المستويين، ومقداره |a| |b| جا θ.
مساحة المثلث = ½ |AB × AC|، وحجم متوازي السطوح = |a · (b × c)|.

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي · 8 / 8

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين

الوحدة الثانية: الأعداد المركبة

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ

الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته

الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات

الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي

المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي

المتجهات في الفراغ الإحداثي

AB = (س2 − س1، ص2 − ص1، ع2 − ع1)

المتجه الموضعي والمقدار

متجه الوحدة

العمليات على المتجهات

الضرب القياسي

التعريف الجبري

التعريف الهندسي والزاوية بين متجهين

الضرب الاتجاهي

التعريف والصيغة

الضرب الثلاثي القياسي

تطبيقات: المساحات والحجوم

مساحة متوازي الأضلاع والمثلث

حجم متوازي السطوح والهرم

أمثلة محلولة

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس