المناهج الدراسية
الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي
الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين
0/8
الوحدة الثانية: الأعداد المركبة
0/9الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد
0/8الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ
0/9الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته
0/8الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات
0/8الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته
0/9
نص الدرس
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى
التزايد والتناقص باستخدام المشتقة الأولى
التزايد والتناقص باستخدام المشتقة الأولى
- تعطينا المشتقة الأولى f′(س) معلومات مباشرة عن اتجاه الدالة.
- فإذا كانت الدالة f متصلة على فترة، وكانت f′(س) موجبة لكل قيم س داخل الفترة، فإن الدالة تكون متزايدة على هذه الفترة.
- وإذا كانت f′(س) سالبة لكل قيم س داخل الفترة فإن الدالة تكون متناقصة.
متزايدةإذا كانت f′(س) > 0 على الفترة.
متناقصةإذا كانت f′(س) < 0 على الفترة.
ثابتةإذا كانت f′(س) = 0 على الفترة.
القيم الحرجة
- القيمة الحرجة للدالة هي قيمة س داخل مجال الدالة تحقق f′(س) = 0 أو تجعل f′(س) غير موجودة.
- وتُعد القيم الحرجة نقاط الفصل بين الفترات، وهي المرشحة للقيم العظمى والصغرى المحلية.
- نوجد f′(س) ونحللها إلى عوامل.
- نحل المعادلة f′(س) = 0 لإيجاد القيم الحرجة.
- نرسم خط الأعداد ونضع عليه القيم الحرجة، ثم نختبر إشارة f′(س) في كل فترة بتعويض قيمة من داخلها.
- نكتب فترات التزايد والتناقص.
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 1 / 8
القيم العظمى والصغرى المحلية
القيم العظمى والصغرى المحلية
- تكون الدالة f لها قيمة عظمى محلية عند س = c إذا كانت f(c) أكبر من أو تساوي قيم الدالة في فترة صغيرة تحيط بالنقطة c، وتكون لها قيمة صغرى محلية إذا كانت f(c) أصغر من أو تساوي هذه القيم.
اختبار المشتقة الأولى
- لتحديد نوع القيمة الحرجة c ندرس إشارة f′(س) قبل c وبعدها:
| إشارة f′ قبل c | إشارة f′ بعد c | نوع النقطة |
|---|---|---|
| موجبة (+) | سالبة (−) | قيمة عظمى محلية |
| سالبة (−) | موجبة (+) | قيمة صغرى محلية |
| لا تتغير الإشارة | لا تتغير الإشارة | ليست قيمة عظمى أو صغرى |
- ومن المهم أن نلاحظ أن القيمة العظمى المحلية ليست بالضرورة أكبر قيمة للدالة في مجالها كله
- وإنما هي أكبر قيمة في جوار النقطة فقط.
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 2 / 8
القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة
القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة
- إذا كانت الدالة متصلة على الفترة المغلقة [أ، ب]، فإن لها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على هذه الفترة.
- ولإيجادهما نحسب قيم الدالة عند:
- القيم الحرجة الواقعة داخل الفترة (أ، ب).
- طرفي الفترة أ و ب.
- ثم نقارن كل هذه القيم، فأكبرها هو القيمة العظمى المطلقة، وأصغرها هو القيمة الصغرى المطلقة.
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 3 / 8
مسائل الأمثلية
مسائل الأمثلية
- مسائل الأمثلية هي مسائل نبحث فيها عن أكبر قيمة أو أصغر قيمة لكمية معينة تحت شرط معين. وتتبع هذه المسائل خطوات ثابتة:
- نرسم شكلاً إن أمكن، ونحدد الكمية المطلوب تعظيمها أو تصغيرها، ونعبر عنها بمتغير واحد باستخدام الشرط المعطى.
- نحدد مجال المتغير حسب طبيعة المسألة، مثل أن يكون الطول موجباً.
- نوجد المشتقة ونحل f′ = 0 لإيجاد القيم الحرجة.
- نختبر القيم الحرجة وطرفي المجال لتحديد القيمة المطلوبة، ونتأكد من أنها تحقق شروط المسألة.
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 4 / 8
رسم المنحنى
رسم المنحنى
- لرسم منحنى دالة نتبع الخطوات الآتية لوصف سلوكها بدقة:
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | مثال | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|---|
| المجال | نحدد القيم التي تكون فيها الدالة معرفة | — | نحددالقيمتكونفيها |
| نقاط التقاطع |
| — | نوجدنقطةالمحورالصادي |
| التماثل | نختبر هل الدالة زوجية أو فردية | التماثل حول المحور الصادي أو نقطة الأصل | نختبرالدالةزوجيةفردية |
| التزايد والتناقص والقيم الحرجة |
| — | نستخدمونوجدالعظمىوالصغرى |
| الجدول |
| — | نكتبوالإشاراتوسلوكالدالة |
| الرسم |
| — | نرسمالمنحنىمراعينونوضح |
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 5 / 8
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
- المثال الأول: فترات التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى. أوجد فترات التزايد والتناقص، والقيم العظمى والصغرى المحلية للدالة f(س) = س3 − 3س2 − 9س + 5.
- الحل f′(س) = 3س2 − 6س − 9 = 3(س − 3)(س + 1). القيم الحرجة هي س = −1 و س = 3.
- عند س < −1 تكون f′ موجبة (مثلاً عند س = −2 تكون f′ = 15)، فالدالة متزايدة.
- وبين −1 و 3 تكون f′ سالبة (مثلاً عند س = 0 تكون f′ = −9)، فالدالة متناقصة.
- وبعد 3 تكون f′ موجبة، فالدالة متزايدة.
- إذن تتزايد الدالة في الفترتين (−∞، −1) و (3، ∞)، وتتناقص في الفترة (−1، 3).
- عند س = −1 تتغير الإشارة من (+) إلى (−)، فتكون قيمة عظمى محلية، و f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10.
- وعند س = 3 تتغير الإشارة من (−) إلى (+)، فتكون قيمة صغرى محلية، و f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
المثال الثاني: القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة.أوجد القيمة العظمى المطلقة والقيمة الصغرى المطلقة للدالة f(س) = س4 − 8س2 على الفترة [−3، 3].
الحلf′(س) = 4س3 − 16س = 4س(س2 − 4). القيم الحرجة هي 0 و 2 و −2، وكلها داخل الفترة. نحسب قيم الدالة عند القيم الحرجة وعند الطرفين:
| س | −3 | −2 | 0 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(س) | 9 | −16 | 0 | −16 | 9 |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| • |
| القيمةالعظمىالمطلقةوالقيمة |
| المثال الثالث: مسألة أمثلية (مستطيل). |
| محيطهأوجدأكبرمساحة |
| الحل |
| الضلعينالضلعالآخروالمساحة |
| المثال الرابع: مسألة أمثلية (علبة مفتوحة). |
| قطعةمربعةالصفيحضلعها |
- الحل الحجم V = س(12 − 2س)2، حيث 0 < س < 6. فتكون V′ = (12 − 2س)2 + س × 2(12 − 2س)(−2) = (12 − 2س)(12 − 6س) = 12(س − 6)(س − 2) بالتحليل بعد التبسيط.
- القيم الحرجة هي س = 2 و س = 6، لكن س = 6 خارج المجال، فيكون س = 2 هو القيمة الوحيدة المرشحة.
- وعند س = 2 يكون الحجم V = 2 × 82 = 128 سم3، وهو أكبر حجم ممكن للعلبة.
- المثال الخامس: رسم منحنى كثير الحدود. ارسم منحنى الدالة f(س) = س3 − 3س.
- الحل الدالة معرفة لكل الأعداد الحقيقية. نقاط التقاطع: عند س = 0 تكون f = 0، وعند f(س) = 0 نجد س = 0 أو س = ±√3. والدالة فردية، فمنحناها متماثل حول نقطة الأصل.
- f′(س) = 3س2 − 3 = 3(س − 1)(س + 1)، والقيم الحرجة ±1.
- تتزايد الدالة عندما س < −1 أو س > 1، وتتناقص بين −1 و 1.
- عند س = −1 توجد قيمة عظمى محلية f(−1) = 2، وعند س = 1 توجد قيمة صغرى محلية f(1) = −2.
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| بهذه المعطيات نرسم المنحنى |
| يبدأأسفلاليساريصعد |
| المثال السادس: القيم الحرجة لدالة كثيرة الحدود. |
| للدالةأوجدالعظمىوالصغرى |
| الحل | f′(س) = 6س2 + 6س − 12 = 6(س + 2)(س − 1). القيم الحرجة هي −2 و 1 | القيمالحرجة |
| • |
| تتغيرالإشارةفتكونقيمة |
| • |
| وعندتتغيرالإشارةفتكون |
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 6 / 8
أخطاء شائعة
أخطاء شائعة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | مثال | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|---|
| اعتبار القيمة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى تلقائياً |
| — | اختبارإشارةقبلهاوبعدها |
| نسيان طرفي الفترة المغلقة | عند البحث عن القيم المطلقة يجب حساب الدالة عند الطرفين أيضاً | — | البحثالقيمالمطلقةحساب |
| قبول قيمة حرجة خارج المجال | في مسائل الأمثلية يجب استبعاد الحلول التي لا تحقق شروط المسألة | الأطوال السالبة | مسائلالأمثليةاستبعادالحلول |
| الخلط بين القيمة العظمى وقيمة س |
| — | السؤاليطلبالدالةوالسؤال |
| الخطأ في إشارة المشتقة |
| — | تعويضقيمةداخلفترة |
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 7 / 8
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- f′(س) > 0 تعني أن الدالة متزايدة، و f′(س) < 0 تعني أن الدالة متناقصة.
- القيم الحرجة هي قيم س التي تجعل f′(س) = 0 أو غير موجودة.
- عند القيمة الحرجة إذا تغيرت الإشارة من (+) إلى (−) فهي عظمى محلية، ومن (−) إلى (+) فهي صغرى محلية.
- على فترة مغلقة نقارن قيم الدالة عند القيم الحرجة الداخلية وعند الطرفين.
- في مسائل الأمثلية نعبر عن الكمية بمتغير واحد، ثم نختبر القيم الحرجة وطرفي المجال.
- لرسم المنحنى نحدد المجال والتقاطعات والتماثل والتزايد والتناقص والقيم الحرجة.
التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 8 / 8
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟