• نظرية ذات الحدين طريقة لفك المقدار (أ + ب) مرفوعاً لأس صحيح موجب دون ضربه في نفسه عدداً من المرات.
• ويعتمد فك المقدار على ما يسمى معامل ذات الحدين، وهو عدد يُرمز إليه بالرمز (n ق r)، ويُقرأ «ن ق ر».

التعريف

1. لأي عددين صحيحين غير سالبين n و r حيث r ≤ n
2. يكون:

(n ق r) = n! ÷ (r! × (n − r)!)

• حيث n! (يُقرأ «مضروب n») هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة من 1 إلى n، مثل 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.
• ونعرّف 0! = 1 لتصبح الصيغة صحيحة عند r = 0 أو r = n.

• (5 ق 2) = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ (2 × 6) = 10.
• (6 ق 3) = 6! ÷ (3! × 3!) = 720 ÷ 36 = 20.
• (8 ق 0) = (8 ق 8) = 1 دائماً، لأن هناك طريقة واحدة لاختيار لا شيء أو لاختيار الكل.
• ومن الخواص المهمة أن (n ق r) = (n ق (n − r))، فمثلاً (7 ق 2) = (7 ق 5) = 21.
• وهذه الخاصية تسهل الحساب، إذ نختار دائماً الأصغر بين r و (n − r) عند الحساب بالمضروبات.

النسبة بين حدين متتاليين

• لإيجاد نسبة الحد الذي يلي حداً إلى هذا الحد نستخدم العلاقة:

Tr+2 ÷ Tr+1 = ((n − r) ÷ (r + 1)) × (ب ÷ أ)

1. وتفيد هذه النسبة في معرفة ترتيب الحد
2. وفي إيجاد الحد الأكبر
3. فإذا كانت النسبة أكبر من 1 يكون الحد الجديد أكبر من السابق.

الحد الأوسط

• إذا كان n عدداً زوجياً يوجد حد أوسط واحد هو الحد رقم (n ÷ 2 + 1).
• أما إذا كان n عدداً فردياً فيوجد حدان أوسطان متساويان في المعامل، هما الحدان رقم (n + 1) ÷ 2 و (n + 3) ÷ 2.
• مثال ذلك في مفكوك (أ + ب)⁶ يكون الحد الأوسط هو الحد الرابع، لأن n = 6 زوجي والحد رقم 6 ÷ 2 + 1 = 4.