التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى

التزايد والتناقص باستخدام المشتقة الأولى

تعطينا المشتقة الأولى f′(س) معلومات مباشرة عن اتجاه الدالة.
فإذا كانت الدالة f متصلة على فترة، وكانت f′(س) موجبة لكل قيم س داخل الفترة، فإن الدالة تكون متزايدة على هذه الفترة.
وإذا كانت f′(س) سالبة لكل قيم س داخل الفترة فإن الدالة تكون متناقصة.

متزايدةإذا كانت f′(س) > 0 على الفترة.

متناقصةإذا كانت f′(س) < 0 على الفترة.

ثابتةإذا كانت f′(س) = 0 على الفترة.

القيم الحرجة

القيمة الحرجة للدالة هي قيمة س داخل مجال الدالة تحقق f′(س) = 0 أو تجعل f′(س) غير موجودة.
وتُعد القيم الحرجة نقاط الفصل بين الفترات، وهي المرشحة للقيم العظمى والصغرى المحلية.

نوجد f′(س) ونحللها إلى عوامل.
نحل المعادلة f′(س) = 0 لإيجاد القيم الحرجة.
نرسم خط الأعداد ونضع عليه القيم الحرجة، ثم نختبر إشارة f′(س) في كل فترة بتعويض قيمة من داخلها.
نكتب فترات التزايد والتناقص.

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 1 / 8

القيم العظمى والصغرى المحلية

تكون الدالة f لها قيمة عظمى محلية عند س = c إذا كانت f(c) أكبر من أو تساوي قيم الدالة في فترة صغيرة تحيط بالنقطة c، وتكون لها قيمة صغرى محلية إذا كانت f(c) أصغر من أو تساوي هذه القيم.

سلك منحنٍ ص = س³ – 3س يشبه تلًّا ووادٍ يمثل سلوك الدالة والقيم العظمى والصغرى: عظمى (-1 , 2) وصغرى (1 , -2).

اختبار المشتقة الأولى

لتحديد نوع القيمة الحرجة c ندرس إشارة f′(س) قبل c وبعدها:

إشارة f′ قبل c	إشارة f′ بعد c	نوع النقطة
موجبة (+)	سالبة (−)	قيمة عظمى محلية
سالبة (−)	موجبة (+)	قيمة صغرى محلية
لا تتغير الإشارة	لا تتغير الإشارة	ليست قيمة عظمى أو صغرى

ومن المهم أن نلاحظ أن القيمة العظمى المحلية ليست بالضرورة أكبر قيمة للدالة في مجالها كله
وإنما هي أكبر قيمة في جوار النقطة فقط.

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 2 / 8

القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة

إذا كانت الدالة متصلة على الفترة المغلقة [أ، ب]، فإن لها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على هذه الفترة.
ولإيجادهما نحسب قيم الدالة عند:

القيم الحرجة الواقعة داخل الفترة (أ، ب).
طرفي الفترة أ و ب.
ثم نقارن كل هذه القيم، فأكبرها هو القيمة العظمى المطلقة، وأصغرها هو القيمة الصغرى المطلقة.

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 3 / 8

مسائل الأمثلية

مسائل الأمثلية هي مسائل نبحث فيها عن أكبر قيمة أو أصغر قيمة لكمية معينة تحت شرط معين. وتتبع هذه المسائل خطوات ثابتة:

نرسم شكلاً إن أمكن، ونحدد الكمية المطلوب تعظيمها أو تصغيرها، ونعبر عنها بمتغير واحد باستخدام الشرط المعطى.
نحدد مجال المتغير حسب طبيعة المسألة، مثل أن يكون الطول موجباً.
نوجد المشتقة ونحل f′ = 0 لإيجاد القيم الحرجة.
نختبر القيم الحرجة وطرفي المجال لتحديد القيمة المطلوبة، ونتأكد من أنها تحقق شروط المسألة.

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 4 / 8

رسم المنحنى

لرسم منحنى دالة نتبع الخطوات الآتية لوصف سلوكها بدقة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
المجال	نحدد القيم التي تكون فيها الدالة معرفة	—	نحددالقيمتكونفيها
نقاط التقاطع	نوجد نقطة التقاطع مع المحور الصادي بوضع س = 0 ونقاط التقاطع مع المحور السيني بوضع f(س) = 0	—	نوجدنقطةالمحورالصادي
التماثل	نختبر هل الدالة زوجية أو فردية	التماثل حول المحور الصادي أو نقطة الأصل	نختبرالدالةزوجيةفردية
التزايد والتناقص والقيم الحرجة	نستخدم f′ كما سبق ونوجد القيم العظمى والصغرى المحلية	—	نستخدمونوجدالعظمىوالصغرى
الجدول	نكتب في جدول قيم س والإشارات وسلوك الدالة ثم نحدد نقاطاً إضافية عند الحاجة	—	نكتبوالإشاراتوسلوكالدالة
الرسم	نرسم المنحنى مراعين ما سبق ونوضح القيم العظمى والصغرى والتقاطعات	—	نرسمالمنحنىمراعينونوضح

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 5 / 8

أمثلة محلولة

المثال الأول: فترات التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى. أوجد فترات التزايد والتناقص، والقيم العظمى والصغرى المحلية للدالة f(س) = س³ − 3س² − 9س + 5.
الحل f′(س) = 3س² − 6س − 9 = 3(س − 3)(س + 1). القيم الحرجة هي س = −1 و س = 3.
عند س < −1 تكون f′ موجبة (مثلاً عند س = −2 تكون f′ = 15)، فالدالة متزايدة.
وبين −1 و 3 تكون f′ سالبة (مثلاً عند س = 0 تكون f′ = −9)، فالدالة متناقصة.
وبعد 3 تكون f′ موجبة، فالدالة متزايدة.
إذن تتزايد الدالة في الفترتين (−∞، −1) و (3، ∞)، وتتناقص في الفترة (−1، 3).
عند س = −1 تتغير الإشارة من (+) إلى (−)، فتكون قيمة عظمى محلية، و f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10.
وعند س = 3 تتغير الإشارة من (−) إلى (+)، فتكون قيمة صغرى محلية، و f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.

المثال الثاني: القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة.أوجد القيمة العظمى المطلقة والقيمة الصغرى المطلقة للدالة f(س) = س⁴ − 8س² على الفترة [−3، 3].

الحلf′(س) = 4س³ − 16س = 4س(س² − 4). القيم الحرجة هي 0 و 2 و −2، وكلها داخل الفترة. نحسب قيم الدالة عند القيم الحرجة وعند الطرفين:

س	−3	−2	0	2	3
f(س)	9	−16	0	−16	9

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	إذن القيمة العظمى المطلقة هي 9 عند س = ±3 والقيمة الصغرى المطلقة هي −16 عند س = ±2	القيمةالعظمىالمطلقةوالقيمة
المثال الثالث: مسألة أمثلية (مستطيل).	مستطيل محيطه 40 سم أوجد أكبر مساحة ممكنة له	محيطهأوجدأكبرمساحة
الحل	إذا كان طول أحد الضلعين س فإن الضلع الآخر = 20 − س والمساحة A = س(20 − س) = 20س − س². فتكون A′ = 20 − 2س. نحل A′ = 0 فنجد س = 10 ويكون A″ = −2 < 0 فالمساحة عظمى. وعند س = 10 يكون الضلع الآخر 10 أيضاً أي أن المربع هو الحل. والمساحة العظمى = 100 سم²	الضلعينالضلعالآخروالمساحة
المثال الرابع: مسألة أمثلية (علبة مفتوحة).	من قطعة مربعة من الصفيح طول ضلعها 12 سم تقطع مربعات متساوية طول ضلع كل منها س سم من الأركان الأربعة ثم تُطوى الأجزاء الباقية لتكوين علبة مفتوحة. أوجد قيمة س التي تجعل حجم العلبة أكبر ما يمكن	قطعةمربعةالصفيحضلعها

الحل الحجم V = س(12 − 2س)²، حيث 0 < س < 6. فتكون V′ = (12 − 2س)² + س × 2(12 − 2س)(−2) = (12 − 2س)(12 − 6س) = 12(س − 6)(س − 2) بالتحليل بعد التبسيط.
القيم الحرجة هي س = 2 و س = 6، لكن س = 6 خارج المجال، فيكون س = 2 هو القيمة الوحيدة المرشحة.
وعند س = 2 يكون الحجم V = 2 × 8² = 128 سم³، وهو أكبر حجم ممكن للعلبة.
المثال الخامس: رسم منحنى كثير الحدود. ارسم منحنى الدالة f(س) = س³ − 3س.
الحل الدالة معرفة لكل الأعداد الحقيقية. نقاط التقاطع: عند س = 0 تكون f = 0، وعند f(س) = 0 نجد س = 0 أو س = ±√3. والدالة فردية، فمنحناها متماثل حول نقطة الأصل.
f′(س) = 3س² − 3 = 3(س − 1)(س + 1)، والقيم الحرجة ±1.
تتزايد الدالة عندما س < −1 أو س > 1، وتتناقص بين −1 و 1.
عند س = −1 توجد قيمة عظمى محلية f(−1) = 2، وعند س = 1 توجد قيمة صغرى محلية f(1) = −2.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
بهذه المعطيات نرسم المنحنى	يبدأ من أسفل اليسار يصعد حتى النقطة (−1 ثم ينزل حتى النقطة (1 −2) ثم يصعد مرة أخرى مارّاً بنقطة الأصل	يبدأأسفلاليساريصعد
المثال السادس: القيم الحرجة لدالة كثيرة الحدود.	للدالة f(س) = 2س³ + 3س² − 12س أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية	للدالةأوجدالعظمىوالصغرى
الحل	f′(س) = 6س² + 6س − 12 = 6(س + 2)(س − 1). القيم الحرجة هي −2 و 1	القيمالحرجة
•	عند س = −2 تتغير الإشارة من (+) إلى (−) فتكون قيمة عظمى محلية و f(−2) = −16 + 12 + 24 = 20	تتغيرالإشارةفتكونقيمة
•	وعند س = 1 تتغير الإشارة من (−) إلى (+) فتكون قيمة صغرى محلية و f(1) = 2 + 3 − 12 = −7	وعندتتغيرالإشارةفتكون

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 6 / 8

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
اعتبار القيمة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى تلقائياً	يجب اختبار إشارة f′ قبلها وبعدها فليس كل صفر للمشتقة قيمة عظمى أو صغرى	—	اختبارإشارةقبلهاوبعدها
نسيان طرفي الفترة المغلقة	عند البحث عن القيم المطلقة يجب حساب الدالة عند الطرفين أيضاً	—	البحثالقيمالمطلقةحساب
قبول قيمة حرجة خارج المجال	في مسائل الأمثلية يجب استبعاد الحلول التي لا تحقق شروط المسألة	الأطوال السالبة	مسائلالأمثليةاستبعادالحلول
الخلط بين القيمة العظمى وقيمة س	السؤال عن القيمة العظمى يطلب قيمة الدالة والسؤال عن النقطة يطلب قيمة س معها	—	السؤاليطلبالدالةوالسؤال
الخطأ في إشارة المشتقة	عند تعويض قيمة من داخل فترة في f′ يجب حساب الإشارة بدقة ويفضل مراجعة التحليل إلى عوامل	—	تعويضقيمةداخلفترة

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 7 / 8

ملخص الدرس

f′(س) > 0 تعني أن الدالة متزايدة، و f′(س) < 0 تعني أن الدالة متناقصة.
القيم الحرجة هي قيم س التي تجعل f′(س) = 0 أو غير موجودة.
عند القيمة الحرجة إذا تغيرت الإشارة من (+) إلى (−) فهي عظمى محلية، ومن (−) إلى (+) فهي صغرى محلية.
على فترة مغلقة نقارن قيم الدالة عند القيم الحرجة الداخلية وعند الطرفين.
في مسائل الأمثلية نعبر عن الكمية بمتغير واحد، ثم نختبر القيم الحرجة وطرفي المجال.
لرسم المنحنى نحدد المجال والتقاطعات والتماثل والتزايد والتناقص والقيم الحرجة.

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى · 8 / 8

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين

الوحدة الثانية: الأعداد المركبة

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ

الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته

الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات

الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى

التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى

التزايد والتناقص باستخدام المشتقة الأولى

القيم الحرجة

القيم العظمى والصغرى المحلية

اختبار المشتقة الأولى

القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة

مسائل الأمثلية

رسم المنحنى

أمثلة محلولة

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس