المجموعات والعمليات عليها

تعريف المجموعة وطرق كتابتها

المجموعة تجمع من الأشياء أو الأعداد المحددة تحديداً دقيقاً لا يحتمل اللبس، وتُسمى كل شيء فيها عنصراً.
تُكتب المجموعات عادةً بحرف كبير مثل A، وتُحصر عناصرها بين قوسين { }.
توجد ثلاث طرق لكتابة المجموعة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
طريقة السرد	نكتب العناصر كلها	A = {1	نكتبالعناصركلها
طريقة الصفة المميزة	نكتب الصفة التي تميز العناصر	A = {س : س عدد صحيح 0 < س ≤ 4}	نكتبتميزالعناصرصحيح
شكل فن	نرسم دائرة أو مستطيلاً ونضع العناصر داخله وهي طريقة مفيدة للعمليات	—	نرسمدائرةمستطيلاونضع
•	لا يهم ترتيب العناصر داخل القوسين ولا تكرارها فالمجموعة {1 3} هي نفسها المجموعة {3	—	ترتيبالعناصرداخلالقوسين

المجموعات والعمليات عليها · 1 / 6

الانتماء والمجموعة الجزئية والمجموعة الخالية

إذا كان العنصر ينتمي إلى المجموعة نكتب ∈، وإذا لم ينتمِ إليها نكتب ∉. فمثلاً إذا كانت A = {1، 2، 3} فإن 2 ∈ A و5 ∉ A.
المجموعة B تكون مجموعة جزئية من A إذا كانت كل عناصر B موجودة في A، ونكتب B ⊆ A. فالمجموعة {1، 2} ⊆ {1، 2، 3}.
المجموعة الخالية هي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر، وتُكتب ∅ أو {}.
وعدد عناصرها صفر، وهي مجموعة جزئية من أي مجموعة، أي أن ∅ ⊆ A دائماً.

المجموعات والعمليات عليها · 2 / 6

العمليات على المجموعات

العملية	الرمز	التعريف
الاتحاد	A ∪ B	العناصر التي تنتمي إلى A أو إلى B (أو إليهما)
التقاطع	A ∩ B	العناصر المشتركة التي تنتمي إلى A وإلى B معاً
الفرق	A − B	العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B
المكملة	A′	العناصر التي تنتمي إلى U ولا تنتمي إلى A

عند استخدام شكل فن نبدأ بوضع العناصر المشتركة في المنطقة المشتركة بين الدائرتين، ثم نكمل باقي العناصر في كل منطقة.
يوجد قانون لحساب عدد عناصر الاتحاد n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)، ونطرح التقاطع لأنه عُدّ مرتين عند جمع العددين.

المجموعات والعمليات عليها · 3 / 6

أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	لتكن A = {1 5} و B = {4 7} و U = {1 10}	لتكن
المثال الأول	أوجد A ∪ B و A ∩ B	أوجد
الحل	A ∪ B = {1 وهي مجموعة عدد عناصرها 7. أما A ∩ B فهي العناصر المشتركة أي {4	مجموعةعناصرهاالعناصرالمشتركة
المثال الثاني	أوجد A − B و B − A	أوجد
الحل	A − B = {1 3} لأن هذه العناصر في A وليست في B. و B − A = {6 7}. نلاحظ أن A − B لا يساوي B − A	العناصروليستنلاحظيساوي
المثال الثالث	أوجد المكملة A′ بالنسبة إلى المجموعة الشاملة U	أوجدالمكملةبالنسبةالمجموعة
الحل	العناصر التي في U ولا في A هي 6 10. إذن A′ = {6 10}. التحقق: عدد عناصر A′ = 10 − 5 = 5	العناصرالتحققعناصر
المثال الرابع	استُطلعت آراء 40 تلميذاً فوجد أن 25 منهم يحبون كرة القدم و18 يحبون كرة السلة و9 يحبون اللعبتين معاً. كم تلميذاً لا يحب أي اللعبتين؟	طلعتآراءتلميذافوجد

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الحل	نرمز بـ F لمحبي كرة القدم و B لمحبي كرة السلة. عدد من يحب لعبة واحدة على الأقل = n(F ∪ B) = 25 + 18 − 9 = 34. عدد من لا يحب أيّاً منهما = 40 − 34 = 6 تلاميذ	نرمزلمحبيالقدمالسلة
المثال الخامس	إذا كان n(A) = 12 و n(B) = 9 و n(A ∩ B) = 4 فأوجد n(A ∪ B) ثم n(A − B)	فأوجد
الحل	n(A ∪ B) = 12 + 9 − 4 = 17. وعدد عناصر A − B = n(A) − n(A ∩ B) = 12 − 4 = 8	وعددعناصر

المجموعات والعمليات عليها · 4 / 6

أخطاء شائعة

المجموعات والعمليات عليها · 5 / 6

ملخص الدرس

المجموعة تجمع محدد من العناصر، وتُكتب بين قوسين { }، ولا يهم ترتيب عناصرها.
الرمز ∈ للانتماء، والرمز ⊆ للمجموعة الجزئية، والمجموعة الخالية ∅ جزئية من كل مجموعة.
الاتحاد ∪ يجمع العناصر، والتقاطع ∩ يأخذ المشترك، والفرق A − B يأخذ ما في A فقط.
المكملة A′ هي ما في المجموعة الشاملة U ولا في A.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

المجموعات والعمليات عليها · 6 / 6

تعريف المجموعة وطرق كتابتها