المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الأول الإعدادي

الوحدة الأولى: الأعداد

0/33
نص الدرس

التناسب

الرياضيات — الصف الأول الإعدادي

التناسب

النسبة

النسبة

  • النسبة مقارنة بين كميتين من نفس النوع، وبنفس وحدة القياس.
  • تُكتب النسبة بين العددين أ و ب على إحدى الصورتين: أ : ب أو أ ÷ ب في صورة كسر أ/ب.
  • العدد الأول أ يسمى المقدم، والعدد الثاني ب يسمى التالي.
التناسب: جرتا طلاء تمثلان النسبة 3 : 2 بين الأحمر والأبيض، وخلطة من 15 لترًا تحوي 9 لترات حمراء و6 بيضاء.
التناسب: جرتا طلاء تمثلان النسبة 3 : 2 بين الأحمر والأبيض، وخلطة من 15 لترًا تحوي 9 لترات حمراء و6 بيضاء.
  • لاحظ أن ترتيب الكميتين مهم، فالنسبة 2 3 تختلف عن النسبة 3 : 2. ولا تُقارن إلا كميتان من نفس النوع، فإذا كانت الكميتان بوحدتين مختلفتين وجب تحويلهما إلى وحدة واحدة أولاً. مثلاً النسبة بين 50 سم و2 م ليست 50 : 2، بل 50 : 200 أي 1 : 4.
  • يمكن اختزال النسبة إلى أبسط صورة بقسمة طرفيها على عامل مشترك أكبر لهما. فالنسبة 36 : 48 تُختزل بالقسمة على 12 فتصبح 3 : 4.

النسب المتكافئة

  1. النسبتان تكون متكافئتين إذا كانت قيمة كل منهما تساوي قيمة الأخرى
  2. مثل 2 : 3 و 6 : 9 لأن 2/3 = 6/9 = 2/3.
التناسب · 1 / 6
التناسب وخواصه

التناسب وخواصه

  1. التناسب هو تساوي نسبتين
  2. فإذا كانت أ/ب = ج/د نقول إن الأعداد أ
  3. ب
  4. ج
  5. د متناسبة
  6. ونكتبها أ : ب = ج : د.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • الطرفان هما أ و د
  • والوسطان هما ب و ج
الطرفانوالوسطان
في أي تناسب
  • حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
  • أي أ × د = ب × ج
حاصلالطرفينالوسطين
إذا كان أ
  • ب = ب : ج فإن ب تسمى وسطاً متناسباً بين أ و ج
  • وتكون ب2 = أ × ج
  • أي ب = √(أ × ج) للأعداد الموجبة
تسمىوسطامتناسباوتكون
العدد د في أب = ج : د يسمى الرابع المتناسبيسمىالرابعالمتناسب
•
  • نستخدم خاصية حاصل ضرب الطرفين والوسطين في التحقق من التناسب
  • وفي إيجاد مجهول في معادلة تناسب
نستخدمخاصيةحاصلالطرفين
العبارة الشرط
الأعداد 4، 6، 10، 15 متناسبة 4 × 15 = 60 و 6 × 10 = 60، فهي متناسبة
الأعداد 2، 3، 5، 7 غير متناسبة 2 × 7 = 14 و 3 × 5 = 15، فهي غير متناسبة
التناسب · 2 / 6
حل معادلات التناسب

حل معادلات التناسب

  1. عند وجود مجهول في تناسب نستخدم خاصية الطرفين والوسطين
  2. نحل المعادلة الناتجة بالطريقة المعتادة.
  1. نكتب حاصل ضرب الطرفين مساوياً لحاصل ضرب الوسطين.
  2. نعزل المجهول بقسمة الطرفين على المعامل المناسب.
  3. نتحقق من الحل بالتعويض في التناسب الأصلي.
التناسب · 3 / 6
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأولاختزل النسبة 36 : 48 إلى أبسط صورةاختزلالنسبةأبسطصورة
الحلنبحث عن أكبر عامل مشترك للعددين 36 و48 فنجده 12. نقسم الطرفين على 12: 36 ÷ 12 = 3 و48 ÷ 12 = 4. إذن النسبة في أبسط صورة هي 3 : 4نبحثأكبرعاملمشترك
المثال الثانيأوجد قيمة س إذا كان 3 : 4 = 9 : سأوجدقيمة
الحل
  • حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
  • أي 3 × س = 4 × 9
  • إذن 3س = 36
  • ومنها س = 12. التحقق: 3/4 = 9/12 وهما متساويان
حاصلالطرفينالوسطينومنها
المثال الثالث
  • هل الأعداد 4
  • 15 متناسبة بهذا الترتيب 4 : 6 = 10 : 15؟
الأعدادمتناسبةبهذاالترتيب
الحل
  • نحسب حاصل ضرب الطرفين 4 × 15 = 60
  • وحاصل ضرب الوسطين 6 × 10 = 60. الناتج متساوٍ
  • إذن الأعداد متناسبة. وكذلك 4/6 = 2/3 و10/15 = 2/3
نحسبحاصلالطرفينوحاصل
المثال الرابعأوجد الوسط المتناسب بين 4 و9أوجدالوسطالمتناسب
الحل
  • نفرض أن الوسط المتناسب هو ب
  • فيكون ب2 = 4 × 9 = 36
  • إذن ب = 6 لأن الأعداد موجبة. التحقق: 4/6 = 6/9 = 2/3
نفرضالوسطالمتناسبفيكون
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الخامس (أصعب)عددان نسبتهما 5 : 7 ومجموعهما 96. أوجد العددينعدداننسبتهماومجموعهماأوجد
الحل
  • نفرض أن العددين 5ك و7ك
  • فيكون مجموعهما 12ك = 96
  • إذن ك = 8. العددان هما 5 × 8 = 40 و7 × 8 = 56. التحقق: 40 + 56 = 96 والنسبة 40 : 56 = 5 : 7
نفرضالعددينفيكونمجموعهما
التناسب · 4 / 6
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

  • كتابة النسبة بين كميتين بوحدتين مختلفتين دون تحويل، فالنسبة بين 30 سم و1 م ليست 30 : 1.
  • الخلط بين النسبة أ ب والنسبة ب : أ، فترتيب الطرفين مهم.
  • ضرب الطرفين في بعضهما بدلاً من الطرفين مع الوسطين، أي كتابة 4 × 6 بدلاً من 4 × 15 عند التحقق.
  • نسيان أن الوسط المتناسب يُوجد بأخذ الجذر التربيعي، ونكتفي عادة بالقيمة الموجبة عند حساب الوسط المتناسب بين عددين موجبين.
التناسب · 5 / 6
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • النسبة مقارنة بين كميتين من نفس النوع وبنفس الوحدة، وتُختزل بقسمة طرفيها على عامل مشترك.
  • التناسب تساوي نسبتين، ويتحقق عندما يتساوى حاصل ضرب الطرفين مع حاصل ضرب الوسطين.
  • الوسط المتناسب بين أ وج هو ب حيث ب2 = أ × ج.
  • يُستخدم التناسب لإيجاد مجهول في معادلة تناسب بعد تحويل الكميات إلى وحدة واحدة.
التناسب · 6 / 6