المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الصف الثاني الإعدادي

العلوم

0/78

الرياضيات

0/103
نص الدرس

الفترات والعمليات عليها

الصف الثاني الإعدادي

الفترات والعمليات عليها

تعريف الفترة وأنواعها

تعريف الفترة وأنواعها

  • الفترة مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية ح، وتمثل كل الأعداد الواقعة بين عددين معلومين يسميان طرفي الفترة.
  • ويكتب طرفا الفترة بالترتيب من الأصغر إلى الأكبر.
سور حديقة مقسم إلى أجزاء يبين الفترات: الفترة [1 , 5) بنقطة مغلقة عند 1 ودائرة مفتوحة عند 5.
سور حديقة مقسم إلى أجزاء يبين الفترات: الفترة [1 , 5) بنقطة مغلقة عند 1 ودائرة مفتوحة عند 5.
الفترة الاسم الأعداد التي تنتمي إليها
[أ، ب] فترة مغلقة كل الأعداد من أ إلى ب، ويشمل ذلك الطرفين أ وب
]أ، ب[ فترة مفتوحة كل الأعداد بين أ وب، دون الطرفين
[أ، ب[ فترة نصف مفتوحة تشمل الطرف أ ولا تشمل الطرف ب
  • نستخدم الرمز [ أو ] عندما يكون الطرف مشمولا، ونستخدم الرمز ] أو [ عندما يكون الطرف غير مشمول.
  • فمثلا الفترة [2، 5] تشمل 2 و5، أما الفترة ]2، 5[ فلا تشملهما.
الفترات والعمليات عليها · 1 / 7
الفترات غير المحدودة

الفترات غير المحدودة

  • قد لا يكون للفترة طرف أيمن أو أيسر، فنستخدم الرمز ∞ للدلالة على الامتداد غير المحدود.
  • ويكون الرمز ∞ أو −∞ دائما مع قوس مفتوح، لأنه ليس عددا.
  1. الفترة ]3، ∞[ تمثل كل الأعداد الأكبر من 3.
  2. الفترة ]−∞، 4] تمثل كل الأعداد الأصغر من أو تساوي 4.
  3. إذا كان a عددًا حقيقيًا، فإن:
  1. مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي a هي [a
  2. ∞[

مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من a هي ]a , ∞[

  1. مجموعة الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي a هي ]−∞
  2. a]

مجموعة الأعداد الحقيقية الأصغر من a هي ]−∞ , a[

  1. ومجموعة الأعداد الحقيقية كلها تُكتب ]−∞
  2. ∞[
  3. ومجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة تُكتب ]0
  4. ∞[.
الفترات والعمليات عليها · 2 / 7
العمليات على الفترات

العمليات على الفترات

  1. الفترات مجموعات
  2. لذلك نجري عليها عمليات المجموعات:
  • الاتحاد (∪) مجموعة الأعداد التي تنتمي إلى فترة واحدة على الأقل من الفترتين.
  • التقاطع (∩) مجموعة الأعداد التي تنتمي إلى الفترتين معا.
  • الفرق (−) مجموعة الأعداد التي تنتمي إلى الفترة الأولى ولا تنتمي إلى الفترة الثانية.
  • عند رسم الفترات على خط الأعداد يساعد التظليل كثيرا.
  • نظلل الفترة الأولى بلون، ثم الثانية، ونحدد الجزء المطلوب.
  • ونلاحظ أن الطرف المشمول يظهر بنقطة مصمتة، والطرف غير المشمول يظهر بنقطة مفرغة.
الفترات والعمليات عليها · 3 / 7
حل المتباينة وكتابة الحل في صورة فترة

حل المتباينة وكتابة الحل في صورة فترة

  • المتباينة الخطية مثل 1 ≤ 2س − 3 < 7 يمكن حلها بخطوات تشبه حل المعادلة، مع الانتباه إلى اتجاه المتباينة.
  • نضيف 3 إلى الأطراف الثلاثة، ثم نقسم على 2، فنحصل على 2 ≤ س < 5.
  • ويكتب الحل في صورة الفترة [2، 5[.
  • تبقى المتباينة صحيحة عند إضافة العدد نفسه إلى طرفيها أو طرحه منهما، فلا يتغير اتجاهها.
  • وعند ضرب طرفيها في عدد موجب يبقى الاتجاه كما هو أيضا.
  • أما عند ضرب طرفيها في عدد سالب فيجب عكس اتجاه المتباينة حتى تظل صحيحة.
  • فمثلا: 5 أكبر من 3، وبضرب الطرفين في −2 نحصل على −10 أصغر من −6، وهي متباينة صحيحة.
الفترات والعمليات عليها · 4 / 7
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

  • المثال الأول أوجد الاتحاد والتقاطع والفرق بين الفترتين أ = [1، 5] و ب = ]3، 7].
  • الحل:
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
•
  • أ ∪ ب = [1
  • لأن الفترة الأولى تبدأ من 1 والثانية تنتهي عند 7 وتشمله
—الفترةالأولىتبدأوالثانية
•
  • أ ∩ ب = ]3
  • لأن الأعداد المشتركة تبدأ بعد 3 مباشرة وتنتهي عند 5 وتشمله
—الأعدادالمشتركةتبدأمباشرة
•
  • أ − ب = [1
  • لأن الأعداد من 1 إلى 3 تشمل 3
  • لأن 3 لا تنتمي إلى ب
—الأعدادتشملتنتمي
المثال الثاني
  • حل المتباينة 1 ≤ 2س − 3 < 7
  • ثم اكتب الحل في صورة فترة
—المتباينةاكتبالحلصورة
الحل
  • نضيف 3 إلى كل الأطراف فنحصل على 4 ≤ 2س < 10
  • ثم نقسم على 2 فنحصل على 2 ≤ س < 5. إذن الحل هو الفترة [2
—نضيفالأطراففنحصلنقسم
المثال الثالث
  • أوجد الاتحاد للفترتين [0
  • 2[ و[2
—أوجدالاتحادللفترتين
الحل
  • الفترة الأولى تبدأ من 0 ولا تشمل 2
  • والثانية تبدأ من 2 وتشمله
  • فلا توجد فجوة بينهما. إذن [0
  • 2[ ∪ [2
  • 4] = [0
—الفترةالأولىتبدأتشمل
المثال الرابع
  • الأعداد الأصغر من أو تساوي 4
  • فأوجد الفترة التي تمثل الأعداد المشتركة بينها وبين ]1
كانتتمثلالأعدادالأصغر
الحل←الأعداد المشتركة هي الأعداد الأكبر من 1 والأصغر من أو تساوي 4، أي ]1، 4]. ولاحظ أن 1 لا تنتمي إلى الفترة الثانية، لذلك لا تشمل الطرف الأيسر.
الفترات والعمليات عليها · 5 / 7
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

  • كتابة الفترة بترتيب خاطئ، مثل [5، 1] بدلا من [1، 5].
  • الخلط بين القوس المربع والقوس المفتوح، فنعطي الطرف مشمولا بينما المتباينة تستبعده.
  • نسيان عكس اتجاه المتباينة عند ضرب الأطراف أو قسمتها على عدد سالب.
  • كتابة ∞ مع قوس مغلق، مثل [3، ∞]، والصحيح ]3، ∞[.
الفترات والعمليات عليها · 6 / 7
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • الفترة المغلقة [أ، ب] تشمل الطرفين، والمفتوحة ]أ، ب[ لا تشمل الطرفين.
  • الفترة نصف المفتوحة تشمل طرفا واحدا فقط.
  • الاتحاد ∪ يضم كل العناصر، والتقاطع ∩ يضم العناصر المشتركة فقط، والفرق − يضم عناصر الأولى التي لا تنتمي للثانية.
  • يُكتب حل المتباينة في صورة فترة بعد حلها.
الفترات والعمليات عليها · 7 / 7