المناهج الدراسية
الصف الثاني الإعدادي
العلوم
0/78
الرياضيات
0/103
نص الدرس
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية
الجذر التربيعي
الجذر التربيعي
- الجذر التربيعي للعدد أ هو العدد الذي إذا ربعناه كان الناتج أ.
- فالجذر التربيعي للعدد 49 هو 7 لأن 72 = 49.
- ويكون الجذر التربيعي الحسابي عددا موجبا أو صفرا دائما.
- نتعامل مع مربع العدد بالقانون √(أ2) = |أ|، أي أن الجذر التربيعي لمربع أي عدد يساوي القيمة المطلقة لهذا العدد. فمثلا √((−5)2) = √25 = 5 = |−5|.
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 1 / 7
الجذر التكعيبي
الجذر التكعيبي
- الجذر التكعيبي للعدد أ هو العدد الذي إذا كعبناه كان الناتج أ، ويكتب بالرمز 3√أ.
- ويختلف الجذر التكعيبي عن التربيعي في أنه معرف للأعداد السالبة أيضا، لأن مكعب العدد السالب يكون سالبا:
- 3√(أ3) = أ، فمثلا 3√(8) = 2 لأن 23 = 8.
- 3√(−8) = −2، لأن (−2)3 = −8.
- 3√(8 ÷ 27) = 2 ÷ 3، لأن (2 ÷ 3)3 = 8 ÷ 27.
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية←مكعب حجمه 64 ومربع مساحته 25 يوضحان الجذر التربيعي والتكعيبي: الجذر التكعيبي 4 والتربيعي 5.: الجذر التكعيبي
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 2 / 7
قوانين الجذور
قوانين الجذور
- لتكن أ و ب عددين موجبين
- فإن:
| القانون | مثال |
|---|---|
| √(أ × ب) = √أ × √ب | √(4 × 9) = 2 × 3 = 6 |
| √(أ ÷ ب) = √أ ÷ √ب | √(36 ÷ 9) = 6 ÷ 3 = 2 |
| 3√(أ × ب) = 3√أ × 3√ب | 3√(8 × 27) = 2 × 3 = 6 |
| √(أ2) = أ للأعداد الموجبة | √(72) = 7 |
- لتبسيط الجذر التربيعي نخرج من تحته أكبر مربع كامل يقسمه، فمثلا √72 = √36 × √2 = 6√2.
- ويستخدم القانون نفسه مع الجذور التكعيبية، فمثلا 3√54 = 3√(27 × 2) = 3 3√2، لأن 3√27 = 3. ويمكن التحقق: (3 3√2)3 = 27 × 2 = 54.
- ملاحظة لا نحتاج في الجذر التكعيبي إلى القيمة المطلقة، لأن 3√(أ3) = أ لكل عدد حقيقي أ، سواء كان موجبا أو سالبا.
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 3 / 7
الجذر التربيعي لمربع عدد
الجذر التربيعي لمربع عدد
- إذا كان المقدار تحت الجذر مربعا لعدد غير معلوم الإشارة، فإن الجذر يعطي القيمة المطلقة.
- فمثلا √(4س2) = √(4) × √(س2) = 2|س|.
- وإذا كان س = −3 فإن 2|س| = 6، وهو نفس ناتج √(4 × 9) = √36 = 6.
- إذا كان الأس داخل الجذر عددا زوجيا، فإننا نقسم الأس على 2 ونأخذ القيمة المطلقة للأساس المرفوع للناتج، أي أن √(أ2ن) = |أن|.
- فمثلا √(أ6) = |أ3|، و√(أ4) = |أ2| = أ2، لأن أ2 عدد غير سالب.
- ويظهر الأمر نفسه مع الكسور، فـ√((−2/9)2) = |−2/9| = 2/9، وهي قيمة موجبة دائما.
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 4 / 7
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| المثال الأول | أوجد قيمة √49 + 3√(−27). | أوجدقيمة |
| الحل | √49 = 7، و3√(−27) = −3، لأن (−3)3 = −27. إذن المجموع 7 + (−3) = 4. | المجموع |
| المثال الثاني |
| أوجدقيمةعندما |
| الحل |
| وعنديكون |
| المثال الثالث | بسط √72 | |
| الحل |
| نخرجأكبرمربعكامل |
| المثال الرابع | أوجد قيمة 3√(8 ÷ 27). | أوجدقيمة |
| الحل | نفصل الجذر على البسط والمقام: 3√8 ÷ 3√27 = 2 ÷ 3 = 2/3. والتحقق: (2/3)3 = 8/27. | نفصلالجذرالبسطوالمقام |
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 5 / 7
أخطاء شائعة
أخطاء شائعة
- كتابة √(س2) = س دائما، والصحيح √(س2) = |س|. فإذا كانت س = −7 فإن √(س2) = 7.
- كتابة √(أ + ب) = √أ + √ب، فمثلا √(9 + 16) = 5 بينما √9 + √16 = 7.
- الظن بأن الجذر التربيعي لعدد سالب موجود في مجموعة الأعداد الحقيقية، فالعدد √(−4) غير معرف في ح.
- نسيان أن الجذر التكعيبي للعدد السالب سالب، فنكتب 3√(−8) = 2 بدلا من −2.
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 6 / 7
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- الجذر التربيعي للعدد الموجب عدد موجب، والجذر التكعيبي معرف للأعداد السالبة.
- √(أ2) = |أ|، و3√(أ3) = أ.
- √(أ × ب) = √أ × √ب، و√(أ ÷ ب) = √أ ÷ √ب للأعداد الموجبة.
- نبسط الجذر بإخراج أكبر مربع كامل من تحته.
قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 7 / 7
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟