المناهج الدراسية
الصف الثاني الإعدادي
العلوم
0/78
الرياضيات
0/103
نص الدرس
العمليات على الأعداد الحقيقية
العمليات على الأعداد الحقيقية
ترتيب العمليات
ترتيب العمليات
نجري العمليات على الأعداد الحقيقية بالترتيب المعتاد←الأقواس أولا، ثم الأسس والجذور، ثم الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين. وتطبق خواص الإبدال والتجميع والتوزيع بما لا يغير قيمة المقدار.
الإبدالأ + ب = ب + أ، أ × ب = ب × أ.
التجميع(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).
التوزيعأ × (ب + ج) = أ × ب + أ × ج.
العمليات على الأعداد الحقيقية · 1 / 7
جمع الجذور المتشابهة وطرحها
جمع الجذور المتشابهة وطرحها
- الجذور المتشابهة هي جذور لها الدليل نفسه والعدد تحت الجذر نفسه
- مثل 3√5 و2√5. ويمكن جمعها أو طرحها بجمع أو طرح معاملاتها فقط:
- 3√5 + 2√5 = (3 + 2)√5 = 5√5.
- قبل الجمع نبسط كل جذر، فالعدد √12 ليس متشابها مع √3 في صورته الأولى، لكن √12 = √4 × √3 = 2√3، فيصبح متشابها معه.
بلاطتان مربعتان مساحتاهما 12 و27 تبينان العمليات على الجذور←جذر 12 + جذر 27 = 5 جذر 3.: جمع الجذور المتشابهة وطرحها
العمليات على الأعداد الحقيقية · 2 / 7
ضرب الجذور وقسمتها
ضرب الجذور وقسمتها
- للجذور التربيعية للأعداد الموجبة القانونان الآتيان:
- √أ × √ب = √(أ × ب)، مثل √2 × √8 = √16 = 4.
- √أ ÷ √ب = √(أ ÷ ب)، مثل √50 ÷ √2 = √25 = 5.
- ولتبسيط الجذر نخرج من تحته أكبر مربع كامل يقسمه. فمثلا √50 = √25 × √2 = 5√2.
- مثال آخر √3 × √12 = √36 = 6، ويمكن التحقق بتبسيط √12 = 2√3 فيكون √3 × 2√3 = 2 × 3 = 6. وكذلك √20 ÷ √5 = √4 = 2.
- وإذا ظهرت عدة جذور في المقدار، نجمعها أو نطرحها بعد تبسيطها فقط.
- مثال للتأكد √27 − √12 = 3√3 − 2√3 = √3، لأن الجذرين بعد التبسيط أصبحا متشابهين.
العمليات على الأعداد الحقيقية · 3 / 7
إزالة الجذر من المقام
إزالة الجذر من المقام
- نكتب المقدار في صورة لا يوجد فيها جذر في المقام، وذلك بضرب البسط والمقام في العدد نفسه الذي يزيل الجذر، أو في المرافق.
- فإذا كان المقام √أ نضرب في √أ.
- وإذا كان المقام على الصورة (√أ − √ب) نضرب في مرافقه (√أ + √ب)، لأن (√أ − √ب)(√أ + √ب) = أ − ب.
- عند إزالة الجذر من مقام الكسر 1 / (2 − √3) نضرب البسط والمقام في المرافق (2 + √3).
- فيكون البسط 2 + √3، والمقام (2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3 = 1، فتكون الصورة النهائية 2 + √3.
- وفي المقام √2 مع العدد 3 مثل 1 / (3√2)، نضرب البسط والمقام في √2 فنحصل على √2 / 6.
العمليات على الأعداد الحقيقية · 4 / 7
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| المثال الأول | بسط √12 + √27 | |
| الحل | √12 = 2√3 و√27 = 3√3. إذن √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 | |
| المثال الثاني | أوجد ناتج (2 + √3)(2 − √3) | أوجدناتج |
| الحل | نستخدم قانون الفرق بين مربعين: (2)2 − (√3)2 = 4 − 3 = 1 | نستخدمقانونالفرقمربعين |
| المثال الثالث |
| الجذرالمقامالعددأوجد |
| الحل | نضرب البسط والمقام في (√5 + 1): 2(√5 + 1) ÷ ((√5)2 − 12) = 2(√5 + 1) ÷ 4 = (√5 + 1) ÷ 2. وقيمته التقريبية ≈ 1.618 | نضربالبسطوالمقاموقيمته |
| المثال الرابع | بسط المقدار (√8 + √18) ÷ √2 | المقدار |
| الحل |
| فيصبحالمقدار |
العمليات على الأعداد الحقيقية · 5 / 7
أخطاء شائعة
أخطاء شائعة
- جمع الجذور غير المتشابهة، مثل √2 + √3 = √5، وهذا خطأ.
- الخطأ في الترتيب، والصحيح 2 + 3 × (−4) ÷ 2 = −4، أما الجمع أولاً فيعطي (2 + 3) × (−4) ÷ 2 = −10، لأن الضرب والقسمة يسبقان الجمع.
- كتابة √(أ + ب) = √أ + √ب، فمثلا √(9 + 16) = 5 بينما 3 + 4 = 7.
- نسيان تبسيط الجذر قبل الجمع أو الطرح.
العمليات على الأعداد الحقيقية · 6 / 7
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- نطبق ترتيب العمليات ونستفيد من خواص الإبدال والتجميع والتوزيع.
- لا نجمع أو نطرح إلا الجذور المتشابهة بعد تبسيطها.
- √أ × √ب = √(أ × ب)، و√أ ÷ √ب = √(أ ÷ ب) للأعداد الموجبة.
- نزيل الجذر من المقام بضرب البسط والمقام في العدد المناسب أو في المرافق.
العمليات على الأعداد الحقيقية · 7 / 7
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟