1-1-5 قانون قوة القوة

1. عند رفع قوة إلى أس آخر نبقي الأساس ونضرب الأسين.
2. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

1. قوة القوة هي قوة أساسها قوة أخرى مثل (a³)².

2. (a³)² = a³ × a³ = a⁶

   لأن 3 × 2 = 6.
3. الضرب يجمع الأسس

(x2 × x3 = x5)

• ، أما قوة القوة فتضربها ((x²)³ = x⁶).

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة (2²)³ × 2⁴.
2. الحل:

(2²)³ = 2⁶

26 × 24 = 210

2¹⁰ = 1024

1. اختصر (a⁻²)³ ÷ a⁻⁹.
2. الحل:

(a-2)3 = a-6

a-6 ÷ a-9 = a-6+9

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (3⁴)² ÷ 3⁵.
2. الحل:

(3⁴)² = 3⁸

38 ÷ 35 = 33

3³ = 27

1. كتابة (x²)³ = x⁵ بالجمع.
2. كتابة (x²)³ = x⁸ برفع 2 إلى القوة 3.
3. إهمال إشارة الأس السالب عند الضرب.

1-1-6 قوة حاصل الضرب

1. عند رفع حاصل ضرب إلى أس يُرفع كل عامل إلى هذا الأس.
2. (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

(ab)3 = (ab)(ab)(ab) = a3b3

• لأن الضرب إبدالي.

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (3a²b)⁴.
2. الحل:

3⁴ = 81

(a²)⁴ = a⁸

1. b⁴ تبقى كما هي.
2. 81a⁸b⁴

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (−2x²)³.
2. الحل:

(−2)³ = −8

(x²)³ = x⁶

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (2x³y)² × (xy)³.
2. الحل:

(2x3y)2 = 4x6y2

1-1-7 قوة خارج القسمة

• عند رفع خارج قسمة إلى أس يُرفع البسط والمقام معًا إلى هذا الأس.
• (a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ (b ≠ 0)

1. نوزع الأس على كل عامل في البسط والمقام.
2. مع الأس السالب نقلب الكسر أولًا.
3. لاحظ:

(a ÷ b)-n = (b ÷ a)n

• .

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة (3 / 4)².
2. الحل:

3² = 9

4² = 16

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

= b² ÷ a⁴

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة (2 / 5)^-3.
2. الحل:

(2 / 5)-3 = (5 / 2)3

= 125 / 8

1. رفع البسط فقط للأس.
2. نسيان قلب الكسر عند الأس السالب.
3. القسمة على صفر عند b = 0.

1-1-8 إشارة القوة: الأس الزوجي والأس الفردي

1. (−a)ⁿ موجبة إذا كان n زوجيًا وسالبة إذا كان n فرديًا.
2. (−a)ⁿ = aⁿ عندما n زوجي
3. (−a)ⁿ = −aⁿ عندما n فردي

• حاصل ضرب عدد زوجي من العوامل السالبة موجب.
• حاصل ضرب عدد فردي منها سالب.
• لاحظ (−3)² = 9 بينما −3² = −9 لأن الإشارة في الثانية خارج القوة.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة (−2)⁵.
2. الحل:
3. الأس فردي فالناتج سالب.

2⁵ = 32

(−2)⁵ = −32

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة (−1)¹⁰¹ + (−1)¹⁰⁰.
2. الحل:

(-1)101 = -1

(−1)¹⁰⁰ = 1

المجموع = 0

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (−2x)³.
2. الحل:

1. الخلط بين (−3)² و −3².
2. إهمال الإشارة عند الأس الفردي.

1-1-9 القوى والجذور التربيعية

1. الجذر التربيعي √a عدد مربعه a، ولذلك (√a)² = a لكل a ≥ 0.
2. (√a)² = a
3. (√a)⁴ = a²
4. (√a)⁶ = a³

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد قيمة (√5)⁴.
2. الحل:

(√5)4 = ((√5)2)2

= 5²

= 25

1. أوجد قيمة (√2)⁶.
2. الحل:

(√2)6 = ((√2)2)3

= 2³

= 8

1. اختصر (√3)³.
2. الحل:

(√3)3 = (√3)2 × √3

= 3√3

1. أوجد قيمة (√5)⁶ × (√5)².
2. الحل:

(√5)⁶ = 125

1. كتابة (√5)² = 25.
2. الخلط بين √5 × √5 والجمع.

1-1-10 تبسيط تعبيرات تجمع أكثر من قانون

• نزيل الأقواس بقانون قوة القوة وقوة الضرب.
• نضرب المعاملات ونقسمها.
• نجمع أسس الضرب ونطرح أسس القسمة لكل رمز.
• نذكر الشرط (x ≠ 0 …) إذا ظهر رمز في المقام.
• تذكر عند توحيد الأساس نكتب 9 = 3² و 27 = 3³ و 4 = 2² و 8 = 2³.

✍️ أمثلة محلولة

x⁶ ÷ x = x⁵

y³ ÷ y² = y

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر (a³b)² × (ab²)³.
2. الحل:

(a3b)2 = a6b2

(ab2)3 = a3b6

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

1. اختصر 9ⁿ × 3²ⁿ⁻¹ ÷ 27ⁿ.
2. الحل:

ⁿ = 3²ⁿ

ⁿ = 3³ⁿ

• البسط:

n × 32n-1 = 34n-1

• القسمة:

1. نسيان توزيع الأس على المعامل.
2. طرح الأسس بالترتيب المعكوس.
3. ترك الناتج بأسس سالبة دون كتابتها بأسس موجبة.