• كثير من المسائل يتضاعف فيها المقدار كل فترة ثابتة الكمية النهائية = الكمية الابتدائية × (معامل التضاعف)ⁿ.
• N = N₀ × rⁿ

1. N₀ الكمية الابتدائية.
2. r معامل التغير في الفترة الواحدة.
3. n عدد الفترات = الزمن الكلي ÷ طول الفترة.
4. إذا كانت القيمة تنقص إلى النصف كل فترة فإن r = 1 / 2.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 بكتيريا تنقسم كل 20 دقيقة. بدأنا بخلية واحدة. بعد كم دقيقة يصبح العدد 256؟
• الحل:

n = 256 = 28

n = 8

الزمن =

8 × 20 = 160

دقيقة

✍️ أمثلة محلولة

1. مبلغ 500 جنيه يتضاعف كل سنة. متى يصبح 4000 جنيه؟
2. الحل:

500 × 2n = 4000

ⁿ = 8

n = 3 سنوات

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 تنقص قيمة جهاز إلى النصف كل 3 سنوات وقيمته الآن 8000 جنيه. ما قيمته بعد 9 سنوات؟
• الحل:

عدد الفترات = 9 ÷ 3 = 3

القيمة = 8000 × (1 / 2)3

= 8000 ÷ 8

= 1000 جنيه

✍️ أمثلة محلولة

1. مكعب طول حرفه 2x سم. أوجد حجمه عند x = 3.
2. الحل:

الحجم = (2x)³ = 8x³

• عند x = 3:

8 × 27 = 216

سم³

1. نسيان قسمة الزمن على طول الفترة.
2. كتابة الحجم بالأس 2.
3. نسيان الوحدة.