المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات العامة — الصف الثاني الثانوي

الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

0/28

الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقاتها

0/27

الوحدة الثالثة: النهايات

0/15

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

0/10
نص الدرس

حل المعادلات والمتباينات

الرياضيات العامة — الصف الثاني الثانوي

حل المعادلات والمتباينات

معادلات القيمة المطلقة

معادلات القيمة المطلقة

  1. القيمة المطلقة |س| تمثل البعد عن الصفر
  2. وهي دائمًا عدد غير سالب. لحل المعادلات نستخدم القواعد التالية
  3. حيث أ عدد حقيقي موجب:
المعادلة الحل
|س| = أ، حيث أ > 0 س = أ أو س = −أ
|س| = 0 س = 0
|س| = أ، حيث أ < 0 لا يوجد حل
  1. أما إذا كانت القيمة المطلقة لمقدار خطي مساويةً لعدد
  2. فنكتب حالتين: المقدار = العدد
  3. والمقدار = −العدد
  4. نحل كل حالة.
حل المعادلات والمتباينات · 1 / 6
متباينات القيمة المطلقة

متباينات القيمة المطلقة

  • لكل عدد موجب أ:
مزلق خشبي على شكل V يمثل القيمة المطلقة |س – 3| < 2 والمتباينات فيكون الحل 1 < س < 5.
مزلق خشبي على شكل V يمثل القيمة المطلقة |س – 3| < 2 والمتباينات فيكون الحل 1 < س < 5.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
|س| < أ
  • تكافئ −أ < س < أ
  • أي أن س تقع داخل فترة مفتوحة حول الصفر
تكافئداخلفترةمفتوحة
|س| ≤ أتكافئ −أ ≤ س ≤ أتكافئ
|س| > أ
  • تكافئ س > أ أو س < −أ
  • أي أن س تقع خارج الفترة
تكافئخارجالفترة
|س| ≥ أتكافئ س ≥ أ أو س ≤ −أتكافئ
•
  • لاحظ أن الحالة “أو” تعني اتحاد فترتين
  • والحالة “و” تعني تقاطعهما. ويجب أن نكتب الحل بالرمز الصحيح لكل حالة
لاحظالحالةتعنياتحاد
حل المعادلات والمتباينات · 2 / 6
المتباينة التربيعية وجدول الإشارات

المتباينة التربيعية وجدول الإشارات

  • لحل متباينة تربيعية نتبع الخطوات التالية:
  • نجعل أحد طرفيها صفرًا ونحلل المقدار التربيعي إلى عاملين.
  • نجد جذور المقدار، أي القيم التي تجعله صفرًا، ونرتبها على خط الأعداد.
  • نختبر إشارة كل فترة بين الجذور باستخدام قيمة تقع فيها، ثم نختار الفترات المطلوبة.
  • مثال لحل (س − 3)(س + 2) > 0 نجد الجذرين −2 و 3. عند س < −2 تكون الإشارة موجبة، وبين −2 و 3 تكون سالبة، وعند س > 3 تكون موجبة. إذن الحل هو س < −2 أو س > 3.
حل المعادلات والمتباينات · 3 / 6
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

المثال الأول: معادلة قيمة مطلقة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•حل المعادلة |2س − 3| = 5المعادلة
الحل2س − 3 = 5 فتعطي 2س = 8 و س = 4. أو 2س − 3 = −5 فتعطي 2س = −2 و س = −1. مجموعة الحل هي {−1فتعطيمجموعة
التحقق
  • |2 × 4 − 3| = |5| = 5
  • و |2 × (−1) − 3| = |−5| = 5

المثال الثاني: متباينة بالقيمة المطلقة من النوع الأول

  • حل المتباينة |س − 2| < 3.
  • الحل −3 < س − 2 < 3. نضيف 2 إلى الأطراف الثلاثة: −1 < س < 5. الحل هو الفترة ]−1، 5[.

المثال الثالث: متباينة بالقيمة المطلقة من النوع الثاني

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•حل المتباينة |3س + 1| ≥ 4المتباينة
الحل
  • 3س + 1 ≥ 4 فتعطي 3س ≥ 3 و س ≥ 1. أو 3س + 1 ≤ −4 فتعطي 3س ≤ −5 و س ≤ −5/3. الحل هو ]−∞
  • −5/3] ∪ [1
فتعطي
التحقق
  • عند س = 2 تكون |7| = 7 ≥ 4
  • وعند س = 0 تكون |1| = 1 < 4 فلا تحقق المتباينة
  • وهذا يؤكد أن الصفر ليس من الحل
تكونوعندالمتباينةوهذا

المثال الرابع: متباينة تربيعية

  • حل المتباينة س2 − 5س + 6 ≤ 0.
  • الحل نحلل: (س − 2)(س − 3) ≤ 0. الجذران هما 2 و 3. بين الجذرين تكون الإشارة سالبة، وعند الطرفين تكون صفرًا. إذن 2 ≤ س ≤ 3، والحل هو [2، 3].

المثال الخامس: متباينة تربيعية باستخدام جدول الإشارات

  • حل المتباينة س2 − س − 6 > 0.
  • الحل نحلل: (س − 3)(س + 2) > 0. الجذران −2 و 3. عند س < −2 يكون الحاصل موجبًا، وبين −2 و 3 يكون سالبًا، وعند س > 3 يكون موجبًا. إذن الحل هو س < −2 أو س > 3.

المثال السادس: معادلة فيها قيمتان مطلقتان

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•حل المعادلة |2س − 1| = |س + 3|المعادلة
الحلتتساوى القيمتان المطلقتان إذا تساوى المقداران أو كان أحدهما عكس الآخرتتساوىالقيمتانالمطلقتانتساوى
الحالة الأولى
  • 2س − 1 = س + 3
  • فتعطي س = 4
فتعطي
الحالة الثانية2س − 1 = −(س + 3) = −س − 3، فتعطي 3س = −2 و س = −2/3.
التحققعند س = 4 يكون الطرفان 7 و 7. وعند س = −2/3 يكون الطرف الأيسر |−7/3| = 7/3، والطرف الأيمن |7/3| = 7/3. الحلان صحيحان.
حل المعادلات والمتباينات · 4 / 6
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

إهمال الحالة السالبةمعادلة |س| = 5 لها حلان، وليس حلًا واحدًا.
الخلط بين “أو” و”و”حل |س| > 2 هو س > 2 أو س < −2، وليس س > 2 و س < −2.
تغيير اتجاه المتباينة بطريقة خاطئةعند ضرب المتباينة أو قسمتها على عدد سالب تنعكس علامتها.
كتابة الحل كفترة عندما يكون اتحادًاإذا كان الحل فترتين منفصلتين، نكتب الاتحاد بين الفترتين.
حل المعادلات والمتباينات · 5 / 6
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  1. |س| = أ تعطي س = أ أو س = −أ عندما أ > 0.
  2. |س| < أ تعني −أ < س < أ، و|س| > أ تعني س > أ أو س < −أ.
  3. المتباينة التربيعية تُحل بالتحليل ثم جدول الإشارات.
  4. يجب التحقق من الحل دائمًا، خاصة عند استخدام حالتين أو أكثر.
حل المعادلات والمتباينات · 6 / 6