المثال الأول: توحيد الأساس بسيط

• حل المعادلة 2^{س + 1} = 32.
• الحل 32 = 2⁵، إذن 2^{س + 1} = 2⁵. نساوي الأسس: س + 1 = 5، فتكون س = 4.

المثال الثاني: توحيد أساسين مختلفين

• حل المعادلة 9^س = 27.
• الحل 9 = 3² و 27 = 3³. إذن 3^2س = 3³، فنساوي الأسس: 2س = 3، ومنه س = 3/2.

المثال الثالث: أساس مختلف مع أسس خطية

المثال الرابع: إخراج عامل مشترك

• حل المعادلة 3^{س + 2} + 3^س = 90.
• الحل نكتب 3^{س + 2} = 9 × 3^س. فتصبح المعادلة 9 × 3^س + 3^س = 90، أي 10 × 3^س = 90. إذن 3^س = 9 = 3²، ومنه س = 2.

المثال الخامس: معادلة تربيعية في الدالة الأسية

• حل المعادلة 4^س − 2^س − 2 = 0.
• الحل نكتب 4^س = (2^س)²، ونضع ع = 2^س. فتصبح ع² − ع − 2 = 0، أي (ع − 2)(ع + 1) = 0، إذن ع = 2 أو ع = −1.
• القيمة ع = −1 تُستبعد لأن 2^س > 0. وأما ع = 2 فتعطي 2^س = 2، إذن س = 1.
• التحقق 4 − 2 − 2 = 0. الحل صحيح.

المثال السادس: معادلة تربيعية أكثر تعقيدًا

• حل المعادلة 2^2س − 5 × 2^س + 4 = 0.
• الحل نضع ع = 2^س، فتصبح ع² − 5ع + 4 = 0، أي (ع − 1)(ع − 4) = 0، إذن ع = 1 أو ع = 4.
• إذا كانت 2^س = 1 فإن س = 0. وإذا كانت 2^س = 4 فإن س = 2. مجموعة الحل هي {0، 2}.

المثال السابع: معادلة ليس لها حل

• حل المعادلة 2^س × 4^{س + 1} = 8^{س − 1}.
• الحل نكتب كل الطرفين بالأساس 2: 2^س × 2^{2س + 2} = 2^{3س + 2}، والطرف الأيمن 2^{3(س − 1)} = 2^{3س − 3}. نساوي الأسس: 3س + 2 = 3س − 3، أي 2 = −3، وهذا غير صحيح لأي قيمة لـ س. إذن المعادلة ليس لها حل.