المثال الأول: نهاية دالة كثيرة حدود

• أوجد نها_{س ← 2} (س² + 1).
• الحل الدالة كثيرة حدود، ويمكن التعويض مباشرة: 2² + 1 = 5. إذن النهاية هي 5.

المثال الثاني: نهاية دالة غير معرفة عند النقطة

• أوجد نها_{س ← 1} (س² − 1) / (س − 1).
• الحل عند س = 1 يصبح البسط والمقام صفرًا، فلا يمكن التعويض المباشر. لكن (س² − 1) = (س − 1)(س + 1)، فيكون الكسر مساويًا لـ (س + 1) لكل س ≠ 1. إذن النهاية هي 1 + 1 = 2.
• نتأكد من الجدول:

1. القيم تقترب من 2 من الجهتين
2. والدالة غير معرفة عند 1
3. ومع ذلك النهاية موجودة.

المثال الثالث: نهاية من جهتين مختلفتين

• لتكن د(س) = |س| / س لكل س ≠ 0. أوجد النهاية عند الصفر إن وُجدت.
• الحل من اليمين، عندما س > 0 تكون |س| = س، فتكون د(س) = 1. إذن نها_{س ← 0⁺} د(س) = 1. ومن اليسار، عندما س < 0 تكون |س| = −س، فتكون د(س) = −1. إذن نها_{س ← 0⁻} د(س) = −1.
• النهايتان مختلفتان، لذلك لا توجد نهاية للدالة عند الصفر.

المثال الرابع: قيمة الدالة تختلف عن النهاية

• لتكن د(س) = 3س + 1 عندما س < 2، و د(س) = 5 عندما س = 2، و د(س) = 9 − س عندما س > 2.
• أوجد نهاس ← 2 د(س)، ثم قارنها بقيمة الدالة عند 2.

• الحل من اليسار: 3 × 2 + 1 = 7. ومن اليمين: 9 − 2 = 7. النهايتان متساويتان، إذن نها_{س ← 2} د(س) = 7.
• أما قيمة الدالة عند 2 فهي د(2) = 5. أي أن النهاية (7) لا تساوي قيمة الدالة (5)، وهذا يوضح الفرق بين المفهومين.

المثال الخامس: نهاية غير موجودة بسبب التزايد غير المحدود

• أوجد نها_{س ← 3} 1 / (س − 3) إن وُجدت.
• الحل عندما تقترب س من 3 من اليمين يكون المقام موجبًا وصغيرًا جدًا، فتصبح القيمة كبيرة جدًا وموجبة. ومن اليسار يكون المقام سالبًا وصغيرًا جدًا، فتصبح القيمة سالبة كبيرة جدًا. إذن النهاية غير موجودة (غير منتهية).