المثال الأول: التعويض المباشر

• أوجد نها_{س ← 4} (3س − 1) / (س + 2).
• الحل المقام عند 4 يساوي 6 وليس صفرًا، فنعوض مباشرة: (3 × 4 − 1) / (4 + 2) = 11 / 6.

المثال الثاني: التحليل

• أوجد نها_{س ← 3} (س² − 9) / (س − 3).
• الحل التعويض يعطي 0/0. نحلل البسط: (س − 3)(س + 3)، ونختصر (س − 3) لأن س ≠ 3. فيصبح المقدار س + 3، ونهايته عند 3 تساوي 6.

المثال الثالث: تحليل مكعب الفرق

• أوجد نها_{س ← 2} (س³ − 8) / (س − 2).
• الحل نستخدم تحليل فرق مكعبين: س³ − 8 = (س − 2)(س² + 2س + 4). فيكون الكسر مساويًا لـ س² + 2س + 4 لكل س ≠ 2. وعند التعويض بـ 2: 4 + 4 + 4 = 12.

المثال الرابع: الضرب في المرافق

• أوجد نها_{س ← 0} (√(س + 4) − 2) / س.
• الحل التعويض يعطي 0/0. نضرب البسط والمقام في (√(س + 4) + 2):

• (√(س + 4) − 2)(√(س + 4) + 2) = س + 4 − 4 = س. إذن الكسر يصبح: س / (س(√(س + 4) + 2)) = 1 / (√(س + 4) + 2).
• عند س = 0 نهاية الكسر = 1 / (2 + 2) = 1/4.

المثال الخامس: تحليل ثلاثي الحدود

• أوجد نها_{س ← −1} (2س² + 3س + 1) / (س + 1).
• الحل نحلل البسط: 2س² + 3س + 1 = (2س + 1)(س + 1). فيكون الكسر مساويًا لـ (2س + 1) لكل س ≠ −1. وعند س = −1: 2(−1) + 1 = −1.

المثال السادس: مسألة متدرجة الصعوبة

• أوجد نها_{س ← 5} (1/س − 1/5) / (س − 5).
• الحل نوحد البسط: 1/س − 1/5 = (5 − س) / (5س). فيكون الكسر: (5 − س) / (5س(س − 5)). وبما أن (5 − س) = −(س − 5)، فإن الكسر يساوي −1 / (5س) لكل س ≠ 5.
• عند س = 5 نحصل على −1 / 25.
• التحقق عند س = 5.01 تكون قيمة الكسر تقريبًا −0.04 وهي قريبة من −1/25 = −0.04.