المثال الأول: زاويتان وضلع

• في المثلث أ ب ج، فيه أ = 8 سم، و A = 30°، و B = 45°. أوجد الضلع ب والضلع ج.
• الحل C = 180° − 30° − 45° = 105°. من القاعدة: ب = أ × جا B / جا A = 8 × جا 45° / جا 30° = 8 × 0.7071 / 0.5 = 8√2 ≈ 11.31 سم.
• و ج = أ × جا C / جا A = 8 × جا 105° / 0.5 = 16 × 0.9659 ≈ 15.45 سم.

المثال الثاني: إيجاد قيمة 2نق

• في مثلث فيه أ = 7 سم، و A = 30°. أوجد نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث.
• الحل أ / جا A = 2نق، إذن 2نق = 7 / 0.5 = 14، ومنه نق = 7 سم.

المثال الثالث: حساب زاوية باستخدام القاعدة

• في مثلث أ = 6 سم، ب = 8 سم، و A = 30°. أوجد B.
• الحل جا B = ب جا A / أ = 8 × 0.5 / 6 = 2/3. إذن B ≈ 41.8° أو B ≈ 180° − 41.8° = 138.2°.

• بما أن أ < ب فالحالتان ممكنتان إذا كان مجموع الزاويتين أقل من 180°.
• نتحقق: 30° + 41.8° = 71.8° وهو أقل من 180°، و30° + 138.2° = 168.2° وهو أيضًا أقل من 180°.
• لذلك يوجد مثلثان:

المثال الرابع: حالة ملتبسة بحلين

• في مثلث أ = 7 سم، ب = 10 سم، و A = 40°. أوجد الزاويتين B و C المحتملتين.
• الحل جا B = 10 × جا 40° / 7 = 10 × 0.6428 / 7 ≈ 0.9183. إذن B ≈ 66.7° أو B ≈ 113.3°.
• الحالتان ممكنتان لأن 40° + 113.3° = 153.3° أقل من 180°.
• فالحل الأول: C ≈ 73.3°، والحل الثاني: C ≈ 26.7°.
• وفي الحالة الأولى ج ≈ 10.4 سم، وفي الثانية ج ≈ 4.9 سم.

المثال الخامس: مسألة حياتية

• قياسان من نقطتين على الأرض، الفاصل بينهما 200 متر.
• الزاوية عند النقطة الأولى 50°، والزاوية عند النقطة الثانية 70°.
• ما المسافة من النقطة الثانية إلى الجسم؟
• الحل نسمي الجسم C، والنقطتين A و B. AB = 200 متر، و C = 180 − 50 − 70 = 60°. المسافة من B إلى الجسم هي الضلع أ المقابل للزاوية A = 50°.

• أ = 200 × جا 50° / جا 60° = 200 × 0.7660 / 0.8660 ≈ 176.9 متر.
• التحقق المسافة الأخرى AC = 200 × جا 70° / جا 60° ≈ 217.0 متر، وهي معقولة لأن الضلع المقابل للزاوية الأكبر (70°) أطول.