المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين

0/8

الوحدة الثانية: الأعداد المركبة

0/9

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

0/8

الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ

0/9

الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته

0/8

الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات

0/8

الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته

0/9
نص الدرس

نظرية ذات الحدين والحد العام

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

نظرية ذات الحدين والحد العام

مفهوم معامل ذات الحدين

مفهوم معامل ذات الحدين

  • نظرية ذات الحدين طريقة لفك المقدار (أ + ب) مرفوعاً لأس صحيح موجب دون ضربه في نفسه عدداً من المرات.
  • ويعتمد فك المقدار على ما يسمى معامل ذات الحدين، وهو عدد يُرمز إليه بالرمز (n ق r)، ويُقرأ «ن ق ر».

التعريف

  1. لأي عددين صحيحين غير سالبين n و r حيث r ≤ n
  2. يكون:

(n ق r) = n! ÷ (r! × (n − r)!)

  • حيث n! (يُقرأ «مضروب n») هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة من 1 إلى n، مثل 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.
  • ونعرّف 0! = 1 لتصبح الصيغة صحيحة عند r = 0 أو r = n.
  • (5 ق 2) = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ (2 × 6) = 10.
  • (6 ق 3) = 6! ÷ (3! × 3!) = 720 ÷ 36 = 20.
  • (8 ق 0) = (8 ق 8) = 1 دائماً، لأن هناك طريقة واحدة لاختيار لا شيء أو لاختيار الكل.
  • ومن الخواص المهمة أن (n ق r) = (n ق (n − r))، فمثلاً (7 ق 2) = (7 ق 5) = 21.
  • وهذه الخاصية تسهل الحساب، إذ نختار دائماً الأصغر بين r و (n − r) عند الحساب بالمضروبات.
نظرية ذات الحدين والحد العام · 1 / 8
نص نظرية ذات الحدين وخصائص المفكوك

نص نظرية ذات الحدين وخصائص المفكوك

  • لأي عدد صحيح موجب n يكون:
  • (أ + ب)n = (n ق 0) أn + (n ق 1) أn−1 ب + (n ق 2) أn−2 ب2 + … + (n ق n) بn
  • ويمكن كتابة المفكوك بالرمز ∑ على الصورة مجموع من r = 0 إلى n من (n ق r) أn−r بr.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
عدد الحدوديحتوي المفكوك على n + 1 من الحدوديحتويالمفكوك
أسس أ وب
  • يبدأ أس أ من n وينقص واحداً في كل حد
  • ويبدأ أس ب من صفر ويزيد واحداً في كل حد
يبدأوينقصواحداويبدأ
مجموع الأسسمجموع أسس أ وأسس ب في أي حد يساوي nوأسسيساوي
تماثل المعاملات
  • المعاملات الموجودة على بعدين متساويين من طرفي المفكوك متساوية
  • لأن (n ق r) = (n ق (n − r))
الموجودةبعدينمتساويينطرفي
مجموع المعاملاتإذا وضعنا أ = ب = 1 في المفكوك نحصل على 2n، أي أن مجموع المعاملات في مفكوك (1 + س)n يساوي 2n.وضعناالمفكوكنحصلمفكوك
•وتفيد خاصية مجموع الأسس في التحقق من الفكوتفيدخاصيةمجموعالأسس
•
  • فمثلاً في (2س − 1)4 يكون كل حد مجموع أسسه 4
  • وهذا يساعد في مراجعة الإجابة سريعاً بعد الحل
فمثلايكونمجموعأسسه
نظرية ذات الحدين والحد العام · 2 / 8
مثلث باسكال

مثلث باسكال

  1. يمكن الحصول على معاملات ذات الحدين بسهولة من مثلث باسكال
  2. وهو ترتيب للأعداد يبدأ بالعدد 1 في القمة
  3. وكل عدد فيه يساوي مجموع العددين الواقعين فوقه مباشرة
  4. ويكون الطرفان في كل صف مساويين للواحد الصحيح.
لوحة جالتون بأوتاد وكرات تكوّن أعداد مثلث باسكال 1 و4 و6 و4 و1 لنظرية ذات الحدين لـ (أ + ب)⁴.
لوحة جالتون بأوتاد وكرات تكوّن أعداد مثلث باسكال 1 و4 و6 و4 و1 لنظرية ذات الحدين لـ (أ + ب)4.
الصف (n) المعاملات مجموعها = 2n
0 1 1
1 1   1 2
2 1   2   1 4
3 1   3   3   1 8
4 1   4   6   4   1 16
5 1   5   10   10   5   1 32
6 1   6   15   20   15   6   1 64
  • الصف رقم n في مثلث باسكال يعطي معاملات مفكوك (أ + ب)n بالترتيب، فالصف الخامس (1، 5، 10، 10، 5، 1) هو معاملات (أ + ب)5.
  • ويلاحظ أن الصف الأول يبدأ بالصف رقم صفر، ولذلك يكون الصف رقم n هو الذي يحتوي على n + 1 من الأعداد.
  • وتفيد هذه الطريقة في الأسس الصغيرة، أما للأسس الكبيرة فنستخدم القانون لحساب المعامل مباشرة.
نظرية ذات الحدين والحد العام · 3 / 8
الحد العام والحد المشتمل على قوة معينة

الحد العام والحد المشتمل على قوة معينة

الحد العام

  • الحد العام في مفكوك (أ + ب)n هو الحد رقم (r + 1)، ويُرمز له بالرمز Tr+1:

Tr+1 = (n ق r) × أn−r × بr

  1. وبذلك يمكن إيجاد أي حد دون فك المقدار كله. فالحد الرابع يناظر r = 3
  2. والحد الخامس يناظر r = 4
  3. وهكذا.

الحد المشتمل على قوة معينة

  • إذا أردنا الحد الذي يحتوي على سك، نكتب الحد العام، ونجمع أسس س فيه، ثم نساوي هذا الأس بالقيمة ك ونحل المعادلة لإيجاد r.
  • ثم نعوض بقيمة r في معامل ذات الحدين وبقية العوامل.
  • ولا يوجد حد يحتوي على قوة معينة إذا كان الحل لـ r ليس عدداً صحيحاً محصوراً بين 0 و n، وعندئذ يكون الحد غير موجود.

الحد الخالي من س

  1. الحد الخالي من س هو الحد الذي يكون فيه أس س يساوي صفراً
  2. ويُحسب بالطريقة نفسها بمساواة الأس بالصفر.
نظرية ذات الحدين والحد العام · 4 / 8
النسبة بين حدين متتاليين والحد الأوسط

النسبة بين حدين متتاليين والحد الأوسط

النسبة بين حدين متتاليين

  • لإيجاد نسبة الحد الذي يلي حداً إلى هذا الحد نستخدم العلاقة:

Tr+2 ÷ Tr+1 = ((n − r) ÷ (r + 1)) × (ب ÷ أ)

  1. وتفيد هذه النسبة في معرفة ترتيب الحد
  2. وفي إيجاد الحد الأكبر
  3. فإذا كانت النسبة أكبر من 1 يكون الحد الجديد أكبر من السابق.

الحد الأوسط

  • إذا كان n عدداً زوجياً يوجد حد أوسط واحد هو الحد رقم (n ÷ 2 + 1).
  • أما إذا كان n عدداً فردياً فيوجد حدان أوسطان متساويان في المعامل، هما الحدان رقم (n + 1) ÷ 2 و (n + 3) ÷ 2.
  • مثال ذلك في مفكوك (أ + ب)6 يكون الحد الأوسط هو الحد الرابع، لأن n = 6 زوجي والحد رقم 6 ÷ 2 + 1 = 4.
نظرية ذات الحدين والحد العام · 5 / 8
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأول: فك كامل باستخدام مثلث باسكال.أوجد مفكوك (س + 1)5.أوجدمفكوك
الحل
  • نأخذ معاملات الصف الخامس من مثلث باسكال: 1
  • 1. ثم نكتب الحدود مع تنازل أس س من 5 إلى صفر
نأخذمعاملاتالصفالخامس
•(س + 1)5 = س5 + 5س4 + 10س3 + 10س2 + 5س + 1.10س310س2
التحققإذا وضعنا س = 1 يكون الطرف الأيسر 25 = 32، والطرف الأيمن 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32.وضعنايكونالطرفالأيسر
المثال الثاني: فك كامل لمقدار فيه إشارة سالبة.أوجد مفكوك (2س − 1)4.أوجدمفكوك
الحل
  • نعتبر أ = 2س و ب = −1
  • ونكتب معاملات الصف الرابع 1
نعتبرونكتبمعاملاتالصف
الحد الأول1 × (2س)4 = 16س416س4
الحد الثاني4 × (2س)3 × (−1) = −32س332س3
الحد الثالث6 × (2س)2 × (−1)2 = 24س224س2
الحد الرابع4 × (2س) × (−1)3 = −8س
الحد الخامس1 × (−1)4 = 1
•إذن (2س − 1)4 = 16س4 − 32س3 + 24س2 − 8س + 1.16س432س324س2
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
التحققبوضع س = 1 نحصل على 16 − 32 + 24 − 8 + 1 = 1، وهو يساوي (2 − 1)4 = 1.بوضعنحصليساوي
المثال الثالث: الحد العام.أوجد الحد الرابع في مفكوك (2س − 1)6.أوجدالرابعمفكوك
الحلالحد الرابع يناظر r = 3، فيكون T4 = (6 ق 3) × (2س)3 × (−1)3 = 20 × 8س3 × (−1) = −160س3.الحدالرابعيناظرفيكون
المثال الرابع: الحد المشتمل على قوة معينة.أوجد الحد الذي يحتوي على س3 في مفكوك (س2 + 1 ÷ س)9.أوجديحتويمفكوك
الحلالحد العام هو (9 ق r) × (س2)9−r × (1 ÷ س)r = (9 ق r) × س18−3r. نساوي الأس بـ 3: 18 − 3r = 3 ومنها r = 5. فيكون المعامل (9 ق 5) = 126، والحد هو 126س3.الحدالعامنساويالأس
•
  • وبالطريقة نفسها يكون الحد الخالي من س عند 18 − 3r = 0
  • أي r = 6
  • والحد هو (9 ق 6) = 84
وبالطريقةنفسهايكونالحد
المثال الخامس: الحد الأوسط.أوجد الحد الأوسط في مفكوك (2س + ص)6.أوجدمفكوك
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الحلn = 6 زوجي، فالحد الأوسط هو الحد الرابع، أي r = 3. وبالتعويض: T4 = (6 ق 3) × (2س)3 × ص3 = 20 × 8س3 × ص3 = 160س3ص3.زوجيفالحدالأوسطالحد
المثال السادس: النسبة بين حدين متتاليين.أوجد النسبة T4 ÷ T3 في مفكوك (س + 2)8، ثم أوجد T4 و T3 للتحقق.أوجدمفكوكللتحقق
الحلهنا أ = س و ب = 2، و n = 8، و r = 2 لأن T3 = Tr+1. فتكون النسبة:فتكونالنسبة
•T4 ÷ T3 = ((8 − 2) ÷ (2 + 1)) × (2 ÷ س) = 2 × (2 ÷ س) = 4 ÷ س.
التحققT3 = (8 ق 2) × س6 × 22 = 28 × 4س6 = 112س6، و T4 = (8 ق 3) × س5 × 23 = 56 × 8س5 = 448س5. ونسبتهما: 448س5 ÷ 112س6 = 4 ÷ س، وهي النتيجة نفسها.112س6448س5ونسبتهماالنتيجة
نظرية ذات الحدين والحد العام · 6 / 8
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الخلط بين رقم الحد ورقم rالحد العام هو Tr+1، فالحد الرابع يناظر r = 3 وليس r = 4.العامفالحدالرابعيناظر
نسيان الإشارة السالبةعند وجود حد سالب داخل القوس يجب رفعه للأس المناسب، فـ (−1)3 = −1 و (−1)2 = 1.وجودداخلالقوسرفعه
رفع المعامل العددي لغير الأس المناسبفي (2س)3 يُرفع العدد 2 مع س، فيكون الناتج 8س3 وليس 2س3.فيكونالناتجوليس
كتابة معامل ذات الحدين بطريقة خاطئة
  • (n ق r) ليست n ÷ r
  • بل هي n! ÷ (r! × (n − r)!)
ليست
عدم التحقق من مجموع الأسس
  • في كل حد يجب أن يكون مجموع أسس الحدود يساوي n
  • وهذا يكشف كثيراً من الأخطاء
يكونالحدوديساويوهذا
نظرية ذات الحدين والحد العام · 7 / 8
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • (n ق r) = n! ÷ (r! × (n − r)!)، ومنها (n ق r) = (n ق (n − r)).
  • مفكوك (أ + ب)n له n + 1 من الحدود، ومجموع أسس أ وب في كل حد يساوي n.
  • معاملات المفكوك تُقرأ من الصف رقم n في مثلث باسكال، ومجموعها 2n.
  • الحد العام Tr+1 = (n ق r) أn−r بr.
  • لإيجاد الحد المشتمل على قوة معينة نساوي أس المتغير بالقيمة المطلوبة ونحل لإيجاد r.
  • النسبة بين حدين متتاليين Tr+2 ÷ Tr+1 = ((n − r) ÷ (r + 1)) × (ب ÷ أ).
نظرية ذات الحدين والحد العام · 8 / 8