الصورة المثلثية ونظرية ديموافر

العدد المركب والصورة الجبرية والمرافق

العدد المركب z هو عدد يُكتب على الصورة z = أ + ب ت، حيث أ و ب عددان حقيقيان، و ت هو العدد التخيلي الذي يحقق ت² = −1.
ويُسمى أ الجزء الحقيقي و ب الجزء التخيلي للعدد z.
يمكن تمثيل العدد المركب z = أ + ب ت بالنقطة (أ، ب) في المستوى الإحداثي، ويُسمى هذا المستوى مستوى أرجاند.
فالعدد 3 + 4ت يقابله النقطة (3، 4).

المرافق

مرافق العدد المركب z = أ + ب ت هو العدد z̄ = أ − ب ت. ومن أهم خواصه أن z × z̄ = أ² + ب²
وهو عدد حقيقي غير سالب.

المقياس والسعة

مقياس العدد المركب z = أ + ب ت هو المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة (أ
ب)
ويُرمز له بالرمز |z|:

|z| = √(أ² + ب²)

أما السعة الأساسية θ فهي الزاوية التي يصنعها الخط الواصل من نقطة الأصل إلى النقطة (أ
ب) مع الاتجاه الموجب لمحور السينات
وتُقاس عكس عقارب الساعة وتقع عادة في الفترة من 0° إلى 360°
أو من −180° إلى 180°
وفق ما يطلبه السؤال.

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 1 / 9

الصورة المثلثية للعدد المركب

بما أن النقطة (أ
ب) يمكن كتابتها بدلالة المقياس والسعة
فإن أ = r جتا θ و ب = r جا θ
حيث r = |z|. ومن ذلك تنشأ الصورة المثلثية:

z = r (جتا θ + ت جا θ)

ويُختصر أحياناً إلى z = r cis θ. وللتحويل من الصورة الجبرية إلى المثلثية نتبع الخطوات الآتية:

نحسب المقياس r = √(أ² + ب²).
نحسب الزاوية المرجعية من العلاقة ظا α = |ب| ÷ |أ|.
نحدد الربع الذي تقع فيه النقطة (أ، ب)، ثم نحسب السعة θ بحيث تكون في الربع الصحيح.

ملاحظة عن الربع الصحيح

إذا كانت النقطة في الربع الأول تكون θ = α، وإذا كانت في الربع الثاني تكون θ = 180° − α، وفي الربع الثالث θ = 180° + α، وفي الربع الرابع θ = 360° − α.
ولا يجوز الاكتفاء بقيمة ظا α لأنها تتكرر كل 180°.

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 2 / 9

الضرب والقسمة بالصورة المثلثية

إذا كان z₁ = r₁ (جتا θ₁ + ت جا θ₁) و z₂ = r₂ (جتا θ₂ + ت جا θ₂)، فإن:

z1 × z2 = r1 r2 [جتا (θ1 + θ2) + ت جا (θ1 + θ2)]

z₁ ÷ z₂ = (r₁ ÷ r₂) [جتا (θ₁ − θ₂) + ت جا (θ₁ − θ₂)]
أي أن المقاييس تُضرب أو تُقسم، والسعات تُجمع أو تُطرح.
وهذه القاعدة أسهل كثيراً من ضرب الأجزاء الحقيقية والتخيلية عندما تكون الزوايا معروفة.
ولاحظ أن الزاوية الناتجة قد تزيد على 360° أو تكون سالبة، ويمكن اختصارها بطرح أو إضافة 360° دون أن تتغير قيمة العدد.

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 3 / 9

نظرية ديموافر

لأي عدد صحيح موجب n يكون:

[r (جتا θ + ت جا θ)]n = rn (جتا nθ + ت جا nθ)

وهذه النظرية تعني أن رفع العدد المركب للأس n يرفع المقياس إلى الأس n، ويضرب السعة في n.
وبالتعويض r = 1 نحصل على (جتا θ + ت جا θ)n = جتا nθ + ت جا nθ، وهي الصورة الأساسية لنظرية ديموافر.

لماذا تفيد النظرية؟

تفيد النظرية في حساب قوى عدد مركب كبيرة دون ضرب متكرر.
كما تفيد في إيجاد الجذور النونية للعدد المركب، وهو ما سيأتي في البند التالي.

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 4 / 9

الجذور النونية للعدد المركب

إذا كان w = r (جتا θ + ت جا θ) فإن الجذور النونية للعدد w هي n عدداً مركباً مختلفاً، تُعطى بالعلاقة:
z_k = ⁿ√r [جتا ((θ + 360k) ÷ n) + ت جا ((θ + 360k) ÷ n)]
حيث k = 0، 1، 2، …، n − 1، والجذور تقع على دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ⁿ√r، وتتباعد بزوايا متساوية مقدارها 360° ÷ n.
مثلاً جذور العدد 8 التكعيبية هي 2، و2(جتا 120° + ت جا 120°)، و2(جتا 240° + ت جا 240°)، أي 2، و(−1 + ت√3)، و(−1 − ت√3).

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 5 / 9

جذور الوحدة

جذور الوحدة النونية هي الجذور النونية للعدد 1.
ويكون عددها n، وتقع على دائرة الوحدة.
ويهمنا من ذلك الجذور التكعيبية للواحد الصحيح، وهي الحلول المركبة للمعادلة z³ = 1.
الجذر الحقيقي لهذه المعادلة هو 1، والجذران الآخران هما:
ω = −1 ÷ 2 + (√3 ÷ 2) ت و ω² = −1 ÷ 2 − (√3 ÷ 2) ت

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
ω³ = 1	بالتعويض بالصورة المثلثية نجد أن ω = جتا 120° + ت جا 120° فتكون ω³ = جتا 360° + ت جا 360° = 1	بالتعويضبالصورةالمثلثيةفتكون
1 + ω + ω² = 0	وهي من أهم الخواص وتُثبت بجمع الجذور الثلاثة	الخواصبجمعالجذورالثلاثة
ω² = ω̄	أي أن كل جذر مركب هو مرافق للآخر	مركبمرافقللآخر
•	وتساعد هذه الخواص في تبسيط الكثير من المقادير المركبة دون الحاجة إلى الحساب المفصل	وتساعدالخواصتبسيطالكثير

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 6 / 9

أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الأول: تحويل إلى الصورة المثلثية.	حوّل العدد 1 + ت√3 إلى الصورة المثلثية	العدد
الحل	r = √(1 + 3) = 2. وظا θ = √3 ÷ 1 والنقطة في الربع الأول إذن θ = 60°. فتكون الصورة المثلثية 2 (جتا 60° + ت جا 60°)	والنقطةالربعالأولفتكون
المثال الثاني: تحويل عدد يقع في الربع الثاني.	حوّل العدد −1 + ت إلى الصورة المثلثية	العددالصورةالمثلثية
الحل	r = √(1 + 1) = √2. الزاوية المرجعية α تحقق ظا α = 1 إذن α = 45°. والنقطة (−1 1) في الربع الثاني لذا θ = 180° − 45° = 135°. فتكون الصورة √2 (جتا 135° + ت جا 135°)	الزاويةالمرجعيةتحققوالنقطة
التحقق	√2 × جتا 135° = √2 × (−√2 ÷ 2) = −1 و√2 × جا 135° = √2 × (√2 ÷ 2) = 1
المثال الثالث: الضرب بالصورة المثلثية.	أوجد ناتج الضرب 2 (جتا 20° + ت جا 20°) × 3 (جتا 40° + ت جا 40°) بالصورة المثلثية ثم بالصورة الجبرية	أوجدناتجالجبرية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الحل	المقياس = 2 × 3 = 6 والسعة = 20° + 40° = 60°. فيكون الناتج 6 (جتا 60° + ت جا 60°)	المقياسوالسعةفيكونالناتج
وبالصورة الجبرية	6 (1 ÷ 2 + ت √3 ÷ 2) = 3 + 3√3 ت
المثال الرابع: القسمة بالصورة المثلثية.	أوجد ناتج القسمة [8 (جتا 150° + ت جا 150°)] ÷ [2 (جتا 30° + ت جا 30°)]	أوجدناتج
الحل	المقياس = 8 ÷ 2 = 4 والسعة = 150° − 30° = 120°. فيكون الناتج 4 (جتا 120° + ت جا 120°) = −2 + 2√3 ت	المقياسوالسعةفيكونالناتج
المثال الخامس: نظرية ديموافر في الأسس الكبيرة.	أوجد (1 + ت)⁸.	أوجد
الحل	المقياس r = √2 والسعة θ = 45°. فيكون (1 + ت) = √2 (جتا 45° + ت جا 45°). وبتطبيق نظرية ديموافر	المقياسوالسعةفيكونوبتطبيق
•	(1 + ت)⁸ = (√2)⁸ (جتا 360° + ت جا 360°) = 16 × 1 = 16.
التحقق	(1 + ت)² = 2ت، و(2ت)⁴ = 16 ت⁴ = 16، لأن ت⁴ = 1.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال السادس: الجذور التكعيبية للعدد 8.	أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8 ثم تحقق من أحدها	أوجدتحققأحدها
الحل	z³ = 8 = 8 (جتا 0° + ت جا 0°). مقياس الجذر = ∛8 = 2 والسعات هي (0° + 360k) ÷ 3 k = 0 أي 0° 120° 240°. فتكون الجذور	مقياسالجذروالسعات360k
•	و2 (جتا 120° + ت جا 120°) = −1 + ت√3 و2 (جتا 240° + ت جا 240°) = −1 − ت√3
التحقق	(−1 + ت√3)² = 1 − 2√3 ت + 3ت² = 1 − 2√3 ت − 3 = −2 − 2√3 ت. وبضربه في (−1 + ت√3): 2 − 2√3 ت + 2√3 ت − 6ت² = 2 + 6 = 8	وبضربه
المثال السابع: خواص جذور الوحدة.	إذا كان ω = −1 ÷ 2 + (√3 ÷ 2) ت أثبت أن 1 + ω + ω² = 0 وأن ω³ = 1	أثبت
الحل	ω² = 1 ÷ 4 − (3 ÷ 4) − (√3 ÷ 2) ت = −1 ÷ 2 − (√3 ÷ 2) ت. إذن 1 + ω + ω² = 1 − 1 ÷ 2 − 1 ÷ 2 + (√3 ÷ 2 − √3 ÷ 2) ت = 0

وأيضاً ω = جتا 120° + ت جا 120°
فتكون ω³ = جتا 360° + ت جا 360° = 1.

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 7 / 9

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
إغفال الربع عند حساب السعة	ظا θ = −1 تعطي θ = 135° أو 315° حسب موقع النقطة ولا تكفي القيمة 45°	تعطيموقعالنقطةتكفي
جمع المقاييس في الضرب	الصحيح ضرب المقاييس أما السعات فتُجمع	الصحيحالسعات
نسيان أن المقياس يُرفع للأس في نظرية ديموافر	(2 (جتا θ + ت جا θ))³ = 8 (جتا 3θ + ت جا 3θ) وليس 2 (جتا 3θ + ت جا 3θ)	وليس
إعطاء جذر واحد فقط	العدد المركب له n من الجذور النونية ولذلك يجب التأكد من عددها	العددالمركبالجذورالنونية
الخلط بين ω و ω²	كلاهما جذر تكعيبي للواحد لكن ω² ليس مساوياً لـ ω	كلاهماتكعيبيللواحدمساويا

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 8 / 9

ملخص الدرس

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المقياس	\|z\| = √(أ² + ب²) والسعة تُحدد من موقع النقطة في المستوى	والسعةموقعالنقطةالمستوى
الصورة المثلثية	z = r (جتا θ + ت جا θ)
الضرب	تُضرب المقاييس وتُجمع السعات. القسمة: تُقسم المقاييس وتُطرح السعات	المقاييسالسعاتالقسمة
نظرية ديموافر	[r (جتا θ + ت جا θ)]n = rn (جتا nθ + ت جا nθ)
•	للعدد المركب n من الجذور النونية تتباعد بزوايا مقدارها 360° ÷ n	للعددالمركبالجذورالنونية
الجذور التكعيبية للواحد	حيث 1 + ω + ω² = 0 و ω³ = 1

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر · 9 / 9

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين

الوحدة الثانية: الأعداد المركبة

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ

الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته

الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات

الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر

العدد المركب والصورة الجبرية والمرافق

المرافق

المقياس والسعة

|z| = √(أ² + ب²)

الصورة المثلثية للعدد المركب

z = r (جتا θ + ت جا θ)

ملاحظة عن الربع الصحيح

الضرب والقسمة بالصورة المثلثية

z1 × z2 = r1 r2 [جتا (θ1 + θ2) + ت جا (θ1 + θ2)]

نظرية ديموافر

[r (جتا θ + ت جا θ)]n = rn (جتا nθ + ت جا nθ)

لماذا تفيد النظرية؟

الجذور النونية للعدد المركب

جذور الوحدة

أمثلة محلولة

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين

الوحدة الثانية: الأعداد المركبة

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ

الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته

الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات

الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته

الصورة المثلثية ونظرية ديموافر

المرافق

المقياس والسعة

|z| = √(أ2 + ب2)

z = r (جتا θ + ت جا θ)

ملاحظة عن الربع الصحيح

z1 × z2 = r1 r2 [جتا (θ1 + θ2) + ت جا (θ1 + θ2)]

[r (جتا θ + ت جا θ)]n = rn (جتا nθ + ت جا nθ)

لماذا تفيد النظرية؟

أحسنت! أنهيت هذا الدرس

|z| = √(أ² + ب²)