الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة

الاشتقاق الضمني

في كثير من العلاقات لا نستطيع كتابة y بدلالة x بصورة صريحة، مثل المعادلة x² + y² = 25.
في هذه الحالة نسمي العلاقة صورة ضمنية، ونشتق طرفيها بالنسبة إلى x مع اعتبار y دالة في x، فنستخدم قاعدة السلسلة كلما ظهر y.

خطوات الاشتقاق الضمني

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى x.
كل حد يحتوي على y نشتقه كما نشتق دالة، ثم نضيف إليه المشتقة dy/dx لأن y دالة في x.
نجمع الحدود التي تحتوي dy/dx في طرف، والباقي في الطرف الآخر.
نحل المعادلة لإيجاد dy/dx.
مثلاً بالاشتقاق الضمني للمعادلة x² + y² = 25 نجد 2x + 2y (dy/dx) = 0، ومنها dy/dx = −x ÷ y.
ويحدث الخطأ الشائع عند نسيان ضرب الحد الذي يحتوي y في dy/dx، كما سيأتي في قسم الأخطاء الشائعة.

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 1 / 8

الاشتقاق البارامتري

إذا كانت x و y معرفتين بدلالة متغير ثالث t، أي x = f(t) و y = g(t)، فإن المنحنى يُسمى منحنى بارامترياً، ويكون:
dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt) بشرط أن يكون dx/dt ≠ 0
ويتم ذلك بتطبيق قاعدة السلسلة، فالمعدل المتغير لـ y بالنسبة لـ x يساوي المعدل بالنسبة لـ t مقسوماً على المعدل بالنسبة لـ t للمتغير x.

ملاحظة عن المماس

ميل المماس للمنحنى البارامتري عند قيمة معينة للوسيط t = t₀ هو قيمة dy/dx عند t₀، ومنه نكتب معادلة المماس بالصورة y − y₀ = m (x − x₀).

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 2 / 8

المشتقة الثانية

المشتقة الثانية d²y/dx² هي مشتقة المشتقة الأولى dy/dx بالنسبة إلى x.

في الصورة الضمنية

نشتق dy/dx بالنسبة إلى x مرة أخرى
ونتذكر أن y دالة في x
فيظهر dy/dx داخل المشتقة
ونستبدل dy/dx بقيمتها الأولى عند الحاجة.

في الصورة البارامترية

d²y/dx² = [d(dy/dx) ÷ dt] ÷ (dx/dt)

أي نشتق dy/dx بالنسبة إلى t، ثم نقسم الناتج على dx/dt.
وهذه القاعدة هي الخطأ الأكثر شيوعاً، لأن الطالب يكتفي أحياناً بقسمة المشتقة الثانية بالنسبة لـ t على dx/dt دون الاشتقاق الأول.

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 3 / 8

المعدلات المرتبطة بالزمن

المعدلات المرتبطة مسائل يكون فيها متغيران أو أكثر يتغيران بالنسبة للزمن t، وبينهما علاقة تربطهما معاً.
والمطلوب عادة إيجاد معدل تغير أحدهما بالنسبة للزمن عندما يكون معدل تغير الآخر أو قيمته معلومة.

نرسم شكلاً يوضح المتغيرات، ونكتب المعطيات والمطلوب بالرموز.
نكتب العلاقة بين المتغيرات.
نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن t، مستخدمين قاعدة السلسلة.
نعوض بالقيم المعلومة لحظة معينة، ثم نحل لإيجاد المعدل المطلوب.
ويُفضل في معظم المسائل أن نعبر عن العلاقة قبل الاشتقاق، ولا نعوض بالقيم العددية إلا بعد الاشتقاق، لأن التعويض المبكر يُسقط المتغيرات التي تحتاج إلى التفاضل.

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 4 / 8

تطبيقات على الاشتقاق الضمني والبارامتري

يجتمع الاشتقاق الضمني والبارامتري في مسائل المماسات والعمودي على المنحنى.
فالعمودي على المنحنى عند نقطة يكون ميله هو −1 ÷ m، حيث m ميل المماس عند تلك النقطة، بشرط ألا يساوي m صفراً.
وفي المنحنيات البارامترية يُحسب ميل العمودي بالطريقة نفسها بعد إيجاد ميل المماس عند قيمة الوسيط المطلوبة.

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 5 / 8

أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الأول: اشتقاق ضمني بسيط.	أوجد dy/dx للمعادلة x² + y² = 25 ثم أوجد ميل المماس عند النقطة (3	أوجدللمعادلةالمماسالنقطة
الحل	بالاشتقاق الضمني: 2x + 2y (dy/dx) = 0 إذن dy/dx = −x ÷ y. وعند (3 4) يكون الميل = −3 ÷ 4	بالاشتقاقالضمنيوعنديكون
المثال الثاني: منحنى ضمني غير منتظم.	أوجد dy/dx للمنحنى x³ + y³ − 3xy = 0 ثم أوجد ميل المماس عند النقطة (3 ÷ 2 3 ÷ 2) وهي نقطة تحقق المعادلة	أوجدللمنحنىالمماسالنقطة
الحل	نشتق الطرفين بالنسبة إلى x: 3x² + 3y² (dy/dx) − 3y − 3x (dy/dx) = 0. نجمع حدود dy/dx: (dy/dx)(3y² − 3x) = 3y − 3x² إذن dy/dx = (y − x²) ÷ (y² − x)	نشتقالطرفينبالنسبةنجمع
•	وعند (3 ÷ 2 3 ÷ 2) يكون البسط 3 ÷ 2 − 9 ÷ 4 = −3 ÷ 4 والمقام 9 ÷ 4 − 3 ÷ 2 = 3 ÷ 4 فيكون الميل = −1	وعنديكونالبسطوالمقام
التحقق	النقطة تحقق المعادلة لأن (3 ÷ 2)³ + (3 ÷ 2)³ − 3 × (3 ÷ 2) × (3 ÷ 2) = 27 ÷ 8 + 27 ÷ 8 − 27 ÷ 4 = 27 ÷ 4 − 27 ÷ 4 = 0	النقطةالمعادلة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
المثال الثالث: اشتقاق بارامتري.	إذا كان x = t² و y = t³ − 3t أوجد dy/dx بدلالة t ثم أوجد قيمتها عند t = 2	—	أوجدبدلالةقيمتها
الحل	dx/dt = 2t و dy/dt = 3t² − 3. فيكون dy/dx = (3t² − 3) ÷ (2t) = 3(t² − 1) ÷ (2t). وعند t = 2 يكون dy/dx = 3 × 3 ÷ 4 = 9 ÷ 4	—	فيكونوعنديكون
المثال الرابع: المشتقة الثانية البارامترية.	للمنحنى نفسه في ال	السابق أوجد d²y/dx² بدلالة t ثم أوجد قيمتها عند t = 2	للمنحنىنفسهالسابقأوجد
الحل	dy/dx = 3(t² − 1) ÷ (2t) = (3 ÷ 2)(t − 1 ÷ t). فيكون d(dy/dx) ÷ dt = (3 ÷ 2)(1 + 1 ÷ t²). وبقسمته على dx/dt = 2t نجد	—	فيكونوبقسمته
•	d²y/dx² = (3 ÷ 2)(1 + 1 ÷ t²) ÷ (2t) = 3(t² + 1) ÷ (4t³)	—
•	وعند t = 2 يكون d²y/dx² = 3 × 5 ÷ (4 × 8) = 15 ÷ 32	—	وعنديكون
المثال الخامس: معدلات مرتبطة (السلم).	سلم طوله 10 م مستند على حائط رأسي وقاعدته تبتعد عن الحائط بمعدل 2 م/ث. أوجد معدل هبوط الطرف العلوي عندما تكون القاعدة على بعد 6 م من الحائط	—	طولهمستندحائطرأسي

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
الحل	نفرض البعد الأفقي x والارتفاع y فتكون x² + y² = 100. نشتق بالنسبة للزمن: 2x (dx/dt) + 2y (dy/dt) = 0	—	نفرضالبعدالأفقيوالارتفاع
•	عندما x = 6 يكون y = 8 و dx/dt = 2 فيكون 12 × 2 + 16 (dy/dt) = 0 ومنها dy/dt = −3 ÷ 2 م/ث	—	عندمايكونفيكونومنها
•	والإشارة السالبة تدل على أن الارتفاع يتناقص	—	والإشارةالسالبةالارتفاعيتناقص
المثال السادس: معدل تغير المساحة.	دائرة نصف قطرها يزداد بمعدل 0.2 سم/ث. أوجد معدل تغير مساحتها عندما يكون نصف القطر 5 سم	—	دائرةقطرهايزدادبمعدل
الحل	المساحة A = πr² فتكون dA/dt = 2πr (dr/dt). بالتعويض: dA/dt = 2π × 5 × 0.2 = 2π سم²/ث	—	المساحةفتكونبالتعويض
المثال السابع: معادلة المماس لمنحنى بارامتري.	منحنى معرف بالمعادلتين x = t² و y = t³ − 3t. أوجد معادلة المماس عند النقطة المناظرة لـ t = 2	—	معرفبالمعادلتينأوجدالنقطة
الحل		الثالث أن ميل المماس عند t = 2 هو 9 ÷ 4. فتكون معادلة المماس: ص − 2 = (9 ÷ 4)(س − 4) أي 9س − 4ص − 28 = 0	يكونفتكونالنقطةوجدنا

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
التحقق	بالتعويض بالنقطة (4 2) نجد 36 − 8 − 28 = 0	بالتعويضبالنقطة
المثال الثامن: المماس والعمودي في الصورة الضمنية.	أوجد معادلتي المماس والعمودي للمنحنى y² = 8س عند النقطة (2	أوجدمعادلتيللمنحنىالنقطة
الحل	بالاشتقاق الضمني: 2y (dy/dx) = 8 إذن dy/dx = 4 ÷ y. وعند (2 4) يكون ميل المماس = 4 ÷ 4 = 1. فتكون معادلة المماس: ص − 4 = 1 × (س − 2) أي س − ص + 2 = 0	بالاشتقاقالضمنيوعنديكون
ميل العمودي = −1 ÷ 1 = −1، فتكون معادلته	ص − 4 = −(س − 2) أي س + ص − 6 = 0
التحقق	النقطة (2 4) تحقق المعادلتين لأن 2 − 4 + 2 = 0 و 2 + 4 − 6 = 0	النقطةالمعادلتين

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 6 / 8

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
نسيان dy/dx عند اشتقاق الحد الذي يحتوي y	مشتقة y² بالنسبة لـ x هي 2y (dy/dx) وليست 2y فقط	مشتقةبالنسبةوليست
قسمة الاشتقاق البارامتري بالعكس	dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt) وليس العكس	وليس
الخطأ في المشتقة الثانية البارامترية	d²y/dx² لا تساوي d²y/dt² ÷ d²x/dt² بل نقسم مشتقة dy/dx بالنسبة لـ t على dx/dt	تساوينقسمبالنسبة
التعويض قبل الاشتقاق في المعدلات المرتبطة	إذا عوضنا بقيمة x = 6 قبل الاشتقاق فقد نفقد الحد الذي يحتوي dx/dt	عوضنابقيمةنفقدالحد
إغفال الإشارة في المعدلات	إذا كان المتغير يتناقص فإن معدل تغيره سالب ويجب ذكر ذلك في الإجابة	المتغيريتناقصتغيرهسالب

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 7 / 8

ملخص الدرس

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الاشتقاق الضمني	نشتق الطرفين بالنسبة لـ x ونضع dy/dx عند كل حد يحتوي y	نشتقالطرفينبالنسبةونضع
الاشتقاق البارامتري	dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)
المشتقة الثانية البارامترية	d²y/dx² = [d(dy/dx) ÷ dt] ÷ (dx/dt)
المعدلات المرتبطة	نكتب العلاقة ثم نشتقها بالنسبة للزمن ثم نعوض بالقيم المعلومة	نكتبالعلاقةنشتقهابالنسبة
•	ميل العمودي على المنحنى هو −1 ÷ m عند نقطة يكون فيها ميل المماس m	العموديالمنحنىنقطةيكون

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة · 8 / 8

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين

الوحدة الثانية: الأعداد المركبة

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ

الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته

الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات

الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة

الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات المرتبطة