3-2-1 حالات تشابه مثلثين

• يتشابه المثلثان في أي من الحالات الآتية.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 هل المثلثان ABC و DEF متشابهان إذا كان AB = 3 و BC = 4 و AC = 5 وكان DE = 6 و EF = 8 و DF = 10؟
• الحل:

3 ÷ 6 = 1 / 2

4 ÷ 8 = 1 / 2

5 ÷ 10 = 1 / 2

1. الأضلاع متناسبة.
2. 2.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 مثلثان فيهما m(∠A) = 50° و m(∠B) = 60° في الأول، و m(∠D) = 50° و m(∠F) = 70° في الثاني. هل يتشابهان؟
• الحل:

C) = 180° – 50° – 60° = 70°

E) = 180° – 50° – 70° = 60°

1. الزوايا (50° و 60° و 70°) موجودة في المثلثين.
2. إذن المثلثان متشابهان.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 المثلث ABC فيه AB = 4 و AC = 6 والزاوية A = 40°، والمثلث DEF فيه DE = 6 و DF = 9 والزاوية D = 40°. هل يتشابهان؟
• الحل:

4 ÷ 6 = 2 / 3

6 ÷ 9 = 2 / 3

• الضلعان متناسبان والزاوية المحصورة متساوية.
• إذن المثلثان متشابهان.
• تذكر الأخطاء الشائعة: ترتيب الرؤوس غير المتناظرة؛ استعمال زاوية غير محصورة بين الضلعين المتناسبين.

3-2-2 المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث

• إذا رُسم في مثلث ABC مستقيم DE يوازي BC حيث D ∈ AB و E ∈ AC فإن المثلث ADE ~ ABC.
• AD ÷ AB = AE ÷ AC = DE ÷ BC

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 في المثلث ABC النقطة D ∈ AB والنقطة E ∈ AC و DE ∥ BC. إذا كان AB = 9 و AD = 3 و BC = 12. أوجد DE.
• الحل:

AD ÷ AB = 3 ÷ 9 = 1 / 3

DE ÷ BC = 1 / 3

DE = (12 × 1) / 3 = 4

سم

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 في المثلث نفسه إذا كان AE = 4 و AC = 10 و DE ∥ BC و AD = 6. أوجد AB.
• الحل:

AD ÷ AB = AE ÷ AC

6 ÷ AB = 4 ÷ 10

AB = 6 × 10 ÷ 4 = 15

سم

✍️ أمثلة محلولة

مساحة

ABC = 12 × 25 ÷ 4 = 75

3-2-3 تطبيقات حياتية على تشابه المثلثات

• يمكن قياس الأطوال التي يصعب الوصول إليها باستخدام الظلال والمثلثات المتشابهة.

1. أشعة الشمس متوازية فتصنع زوايا متساوية مع الأرض.
2. يتكون مثلثان قائمان متشابهان من الجسم وظله ومن شخص وظله.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 عصا طولها 1.5 م ظلها 2 م. شجرة ظلها في الوقت نفسه 12 م. ما ارتفاع الشجرة؟
• الحل:

ارتفاع الشجرة ÷ طول الظل = 1.5 ÷ 2

ارتفاع الشجرة =

12 × 1.5 ÷ 2 = 9

م

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 عمود إنارة ارتفاعه 6 م يلقي ظلًا طوله 4 م. ما طول ظل شخص طوله 1.8 م في الوقت نفسه؟
• الحل:

6 ÷ 4 = 1.8 ÷

الظل

الظل =

1.8 × 4 ÷ 6 = 1.2

م

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 نموذج مجسم لمسلة ارتفاعه 20 سم وقاعدته 2 سم، والمسلة الحقيقية قاعدتها 4 م. أوجد ارتفاع المسلة الحقيقية.
• الحل:

نسبة التكبير = 4 م ÷ 2 سم =

400 ÷ 2 = 200

الارتفاع =

20 × 200 = 4000

سم = 40 م