3-7-1 معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل

• معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل وميله m هي:

y = mx

✍️ أمثلة محلولة

1. اكتب معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل وميله 3.
2. الحل:

y = 3x

• مثال 2 مستقيم يمر بنقطة الأصل والنقطة (4 ، 10). أوجد معادلته.
• الحل:

m = 10 ÷ 4 = 5 / 2

y = (5 / 2)x

1. هل النقطة (6 ، 15) تقع على المستقيم y = (5 / 2)x؟
2. الحل:

(5 / 2) × 6 = 15

1. إذن النقطة تقع على المستقيم.
2. الأخطاء الشائعة: إضافة مقطع للمستقيم المار بالأصل.

3-7-2 صورة الميل والمقطع الصادي

• معادلة المستقيم الذي ميله m ويقطع محور الصادات عند النقطة (0 ، c) هي:

y = mx + c

1. c هو المقطع الصادي.
2. المقطع السيني يُوجد بوضع y = 0.

✍️ أمثلة محلولة

1. اكتب معادلة المستقيم الذي ميله 2 ومقطعه الصادي −3.
2. الحل:

y = 2x − 3

• مثال 2 أوجد الميل والمقطع الصادي والسيني للمستقيم y = −3x + 6.
• الحل:

الميل = −3

المقطع الصادي = 6

المقطع السيني = 2

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 خدمة توصيل تتقاضى 20 جنيهًا ثابتة و 5 جنيهات لكل كيلومتر. اكتب العلاقة وأوجد تكلفة 12 كم.
• الحل:

y = 5x + 20

• عند x = 12:

y = 60 + 20 = 80

جنيهًا

• الميل 5 يمثل تكلفة الكيلومتر والمقطع 20 هو الرسم الثابت.
• تذكر الأخطاء الشائعة: الخلط بين الميل والمقطع؛ نسيان إشارة المقطع.

3-7-3 معادلة المستقيم بدلالة الميل ونقطة

• معادلة المستقيم المار بالنقطة (x₁ ، y₁) وميله m هي:

y – y1 = m(x – x1)

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة (1 ، 4) وميله −2.
2. الحل:

y – 4 = -2(x – 1)

y – 4 = -2x + 2

y = −2x + 6

• بالصورة القياسية:

x + y – 6 = 0

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (−1 ، 2) و (3 ، 10).
• الحل:

m = (10 – 2) ÷ (3 – (-1)) = 8 ÷ 4 = 2

y – 2 = 2(x + 1)

y = 2x + 4

• بالصورة القياسية:

x – y + 4 = 0

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة (2 ، −1) وعمودي على y = 2x + 5.
• الحل:

ميل المعلوم = 2 فميل العمودي = -1 / 2

y + 1 = -(1 / 2)(x – 2)

y = -(1 / 2)x + 1 – 1

y = -(1 / 2)x

✍️ أمثلة محلولة

x – y + 1 = 0

1. .
2. الحل:
3. y = 3x + 1 فالميل 3
4. المستقيم المطلوب ميله 3 ومقطعه الصادي −2.

y = 3x − 2

3-7-4 الصورة القياسية للمعادلة والمقطعان

• الصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم هي:

ax + by + c = 0

الميل = −a ÷ b

المقطع الصادي = −c ÷ b

المقطع السيني = −c ÷ a

✍️ أمثلة محلولة

x + 2y – 12 = 0

1. .
2. الحل:

الميل =

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 اكتب معادلة المستقيم الذي مقطعه السيني 3 ومقطعه الصادي 4 بالصورة القياسية.
• الحل:
• يمر بالنقطتين (3 ، 0) و (0 ، 4).

m = (4 – 0) ÷ (0 – 3) = -4 / 3

y = -(4 / 3)x + 4

y = -4x + 12

x + 3y – 12 = 0

✍️ أمثلة محلولة

x – 3y + 1 = 0

و

x + 2y – 5 = 0

1. متعامدان.
2. الحل:

ميل الأول = 2 / 3

ميل الثاني = -3 / 2

• الضرب:

(2 / 3)(-3 / 2) = -1

• إذن المستقيمان متعامدان.
• تذكر الأخطاء الشائعة: نسيان الإشارة السالبة في قانون الميل؛ الخلط بين المقطع السيني والصادي عند إيجادهما.