المناهج الدراسية
الصف الثاني الإعدادي
العلوم
0/78
الرياضيات
0/103
نص الدرس
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية
معنى الأس
معنى الأس
- الأس يدل على عدد مرات ضرب الأساس في نفسه. فمثلا 25 تعني 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32، حيث العدد 2 هو الأساس والعدد 5 هو الأس.
- وعند كتابة أم يكون الأساس هو أ والأس هو م، حيث م عدد صحيح موجب. ويكون أ1 = أ دائما.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 1 / 7
قوانين الأسس
قوانين الأسس
| القانون | مثال |
|---|---|
| أم × أن = أم+ن | 23 × 24 = 27 = 128 |
| أم ÷ أن = أم−ن | 36 ÷ 32 = 34 = 81 |
| (أم)ن = أم×ن | (23)2 = 26 = 64 |
| (أ × ب)ن = أن × بن | (2 × 5)3 = 23 × 53 = 1000 |
ملاحظة مهمة←قوانين الضرب والقسمة تشترط أن يكون الأساس واحدا. فلا نكتب 23 × 32 = 65، لأن الأساسين مختلفان.
- لتكن أ و ب أعدادا حقيقية غير صفرية
- وتكون م و ن أعدادا صحيحة
- فإن:
صفوف من المكعبات تمثل قوانين الأسس←23 × 22 = 25 أي 8 × 4 = 32 مكعبًا.: قوانين الأسس
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 2 / 7
الأس صفر والأس السالب
الأس صفر والأس السالب
- لأي عدد حقيقي أ لا يساوي صفرا:
- أ0 = 1. فمثلا 50 = 1، ويمكن استنتاجها من قانون القسمة: 52 ÷ 52 = 50 = 25 ÷ 25 = 1.
- أ−ن = 1 ÷ أن. فمثلا 2−3 = 1 ÷ 23 = 1/8.
- ونلاحظ أن (3/2)−2 = (2/3)2 = 4/9، أي أن الأس السالب يقلب الكسر.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 3 / 7
تبسيط المقادير الأسية
تبسيط المقادير الأسية
لتبسيط مقدار أسي نتبع الخطوات الآتية←نحول الأعداد إلى أساسات متماثلة إن أمكن، ثم نطبق قوانين الأسس، ثم نحسب الناتج النهائي. فمثلا 43 = (22)3 = 26 = 64، لأن 4 = 22.
قوى المقادير الجبرية
- نطبق القوانين نفسها على الحروف، فمثلا س2 × س3 = س5، و(2س)3 = 23 × س3 = 8س3.
- وعند القسمة نطرح الأسس: 12ص6 ÷ 3ص2 = 4ص4.
- ومثال آخر: (2س2)3 ÷ 4س4 = 8س6 ÷ 4س4 = 2س2.
- وللتحقق من أي ناتج نعوض بقيمة عددية للمتغير، فإذا كانت س = 2 يكون س2 × س3 = 4 × 8 = 32 = 25.
- وللمقارنة بين القوى نحسب قيمتها 25 = 32 و52 = 25، إذن 25 أكبر من 52، مع أن الأساس 5 أكبر من الأساس 2.
- ومن الأخطاء الشائعة أن يظن الطالب أن (أم)ن تساوي أم + أن، والصحيح أن الأسس تضرب في بعضها.
- فمثلا (22)3 = 26 = 64، بينما 22 + 23 = 12.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 4 / 7
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| المثال الأول | بسط 23 × 24. | |
| الحل | الأساس واحد، فنجمع الأسس: 23+4 = 27 = 128. | الأساسواحدفنجمعالأسس |
| المثال الثاني | بسط 36 ÷ 32. | |
| الحل | نطرح الأسس: 36−2 = 34 = 81. | نطرحالأسس |
| المثال الثالث | أوجد قيمة (23)2، ثم أوجد قيمة (2 × 5)3 ÷ 52. | أوجدقيمة |
| الحل | (23)2 = 26 = 64. أما (2 × 5)3 ÷ 52 = 23 × 53 ÷ 52 = 8 × 51 = 40. | |
| المثال الرابع | أوجد قيمة 2−3 + (3/2)−2. | أوجدقيمة |
| الحل | 2−3 = 1/8، و(3/2)−2 = 4/9. إذن المجموع 1/8 + 4/9 = 9/72 + 32/72 = 41/72. | المجموع |
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 5 / 7
أخطاء شائعة
أخطاء شائعة
- ضرب الأسس عند الضرب، فيكون 23 × 24 = 47، وهذا خطأ، والصحيح 27.
- الخلط بين الأساس والأس في الضرب، فيكون 23 = 6، وهذا خطأ، والصحيح 23 = 8.
- اعتبار الأس السالب عددا سالبا، فيكون 2−3 = −8، والصحيح 1/8.
- كتابة (أ + ب)ن = أن + بن، فمثلا (2 + 3)2 = 25 وليس 4 + 9 = 13.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 6 / 7
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- أم × أن = أم+ن، و أم ÷ أن = أم−ن.
- (أم)ن = أم×ن، و(أ × ب)ن = أن × بن.
- أ0 = 1 لكل أ لا تساوي صفرا.
- أ−ن = 1 ÷ أن، أي أن الأس السالب يعطي مقلوب القوة.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 7 / 7
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟