المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الصف الثاني الإعدادي

العلوم

0/78

الرياضيات

0/103
نص الدرس

متوسطات المثلث

الصف الثاني الإعدادي

متوسطات المثلث

تعريف متوسط المثلث

تعريف متوسط المثلث

  • متوسط المثلث قطعة مستقيمة تصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل لهذا الرأس.
  • لكل مثلث ثلاثة متوسطات، واحد من كل رأس.
  • ولرسم المتوسط نحدد منتصف الضلع المقابل باستخدام المسطرة أو بالقياس، ثم نصل الرأس بهذه النقطة.
متوسطات المثلث · 1 / 6
مركز ثقل المثلث

مركز ثقل المثلث

  • المتوسطات الثلاثة لأي مثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى مركز ثقل المثلث، ويرمز لها غالبا بالحرف G.
  • وهذه النقطة تقسم كل متوسط بنسبة 2 : 1 تبدأ من الرأس، أي أن المسافة من الرأس إلى المركز تساوي ثلثي طول المتوسط، والمسافة من المركز إلى منتصف الضلع تساوي ثلثه.
مثلث خشبي متزن على دبوس عند مركز ثقله يبين متوسطات المثلث: المركز يبعد 6 سم و3 سم على المتوسط 9 سم.
مثلث خشبي متزن على دبوس عند مركز ثقله يبين متوسطات المثلث: المركز يبعد 6 سم و3 سم على المتوسط 9 سم.
المسافة نسبتها إلى طول المتوسط
من الرأس إلى مركز الثقل ثلثان (2/3)
من مركز الثقل إلى منتصف الضلع ثلث (1/3)
  1. وإذا كان المتوسط طوله 12 سم
  2. فإن المسافة من الرأس إلى المركز تساوي 8 سم
  3. والمسافة من المركز إلى منتصف الضلع تساوي 4 سم.
متوسطات المثلث · 2 / 6
خاصية المساحة

خاصية المساحة

  • يقسم المتوسط المثلث إلى مثلثين لهما المساحة نفسها، لأن قاعدتيهما متساويتان (نصفا الضلع المقابل متساويان لأن المتوسط يمر بمنتصفه)، ولهما الارتفاع نفسه من الرأس المشترك.
  • فإذا كانت مساحة المثلث 36 سم2، فإن كل مثلث جزئي مساحته 18 سم2.
متوسطات المثلث · 3 / 6
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأول
  • في المثلث أ ب ج
  • طول المتوسط الخارج من أ هو أ م = 12 سم
  • ومركز الثقل G يقع عليه. أوجد أ G و G م
المثلثالمتوسطالخارجومركز
الحل
  • أ G = (2/3) × 12 = 8 سم
  • و G م = 12 − 8 = 4 سم. والتحقق: 8 : 4 = 2 : 1
والتحقق
المثال الثاني
  • في المستوى الإحداثي
  • رءوس المثلث أ(0
  • ب(6
  • ج(0
  • 6). أوجد منتصف ب ج
  • ومركز ثقل المثلث
  • ثم تحقق من خاصية 2 : 1 للمتوسط من أ
المستوىالإحداثيرءوسالمثلث
الحل
  • منتصف ب ج هو م(3
  • 3). مركز الثقل G = ((0 + 6 + 0) ÷ 3
  • (0 + 0 + 6) ÷ 3) = (2
  • 2). المسافة أ م = √(32 + 32) = √18
  • والمسافة أ G = √(22 + 22) = √8. وبما أن √8 = (2/3) × √18
  • فالخاصية صحيحة
منتصفمركزالثقلالمسافة
المثال الثالث
  • أوجد إحداثيات مركز ثقل المثلث الذي رءوسه أ(1
  • ب(5
  • ج(3
أوجدإحداثياتمركزالمثلث
الحل
  • G = ((1 + 5 + 3) ÷ 3
  • (2 + 2 + 8) ÷ 3) = (3
المثال الرابعمساحة المثلث أ ب ج تساوي 36 سم2، وأ م متوسط منه. أوجد مساحة المثلث أ ب م.
الحلالمتوسط يقسم المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة، إذن مساحة أ ب م = 36 ÷ 2 = 18 سم2.
متوسطات المثلث · 4 / 6
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

  • الخلط بين المتوسط والارتفاع، فالمتوسط يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل، أما الارتفاع فيصل الرأس بالضلع المقابل بزاوية قائمة.
  • قسمة المسافة من الرأس إلى المركز على ثلاثة بدلا من ضربها في ثلثين.
  • حساب مركز الثقل بقسمة مجموع الإحداثيات على 2 بدلا من 3.
  • الاعتقاد بأن المتوسطات الثلاثة لا تتقاطع في نقطة واحدة، والحقيقة أنها تتقاطع دائما.
متوسطات المثلث · 5 / 6
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • المتوسط يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل، ولكل مثلث ثلاثة متوسطات.
  • المتوسطات الثلاثة تتقاطع في مركز الثقل G، ويقسم كل متوسط بنسبة 2 : 1 من الرأس.
  • المتوسط يقسم مساحة المثلث إلى جزأين متساويين.
  • إحداثيات مركز الثقل = (مجموع السينات ÷ 3، مجموع الصادات ÷ 3).
متوسطات المثلث · 6 / 6