الفصل الخامس — خواص الموائع الساكنة (الهيدروستاتيكا)

بعد دراسة هذا الفصل تكون قادرًا على أن:

• تقيس الضغط عند نقطة في باطن سائل وتحسبه.
• تعين الكثافة النسبية للزيت بطريقة عملية (الأنبوبة ذات الشعبتين).
• تتعرف وحدات قياس الضغط الجوي.
• تقارن بين البارومتر البسيط والمانومتر.
• تتعرف بعض تطبيقات الضغط.
• تحل مسائل مرتبطة بالكثافة والضغط.
• توضح قاعدة باسكال وتطبقها على المكبس الهيدروليكي.

المصطلحات الأساسية: الضغط (Pressure) — الضغط الجوي (Atmospheric Pressure) — قاعدة باسكال (Pascal's Principle).

بعد أن درسنا حركة الموائع وطبيعة سريانها في الفصل السابق، حان الآن دور دراسة الموائع الساكنة، وسنركز على مفهوم الضغط، وكيف أن للسائل ضغطًا عند كل نقطة في باطنه، وعلى تطبيقات هذه المفاهيم في حياتنا.

الضغط عند نقطة هو القوة المتوسطة المؤثرة عموديًا على وحدة المساحات المحيطة بتلك النقطة.

وعلى ذلك إذا أثرت قوة F عموديًا على سطح مساحته A فإن الضغط P المؤثر على هذا السطح يتعين من العلاقة:

\(P = \dfrac{F}{A}\)

ونظرًا لأن القوة F تقاس بالنيوتن (N) والمساحة A بالمتر المربع (m²)، فإن وحدة الضغط في النظام الدولي هي نيوتن/م\(^{2} \left(\dfrac{N}{m^{2}}\right)\) وتسمى باسكال (Pa):

\[\begin{gathered}1 \,\text{Pa} = 1 N/m^{2}\end{gathered}\]

• ومن العلاقة السابقة نلاحظ أن الضغط يتناسب طرديًا مع القوة العمودية، وعكسيًا مع مساحة السطح الذي تؤثر عليه.
• فلتحصل على ضغط كبير يمكنك أن تزيد القوة أو أن تصغّر المساحة.
• ولهذا:

• نشحذ السكين ونحدّ رأس المسمار والدبوس لأن المساحة الصغيرة جدًا تعطي ضغطًا كبيرًا من قوة صغيرة نسبيًا.
• نصنع قواعد المباني والأعمدة عريضة لتقل المساحة المحمولة لكل وحدة مساحة على التربة، ونصنع إطارات الجرارات الزراعية عريضة حتى لا تغوص في الأرض اللينة.

معلومة إضافية (إثرائية): هل ضغط قدم الفيل أكبر من ضغط قدم الإنسان؟

• لأن الضغط هو القوة على وحدة المساحة، فإن الضغط الناتج عن كعب حذاء نسائي مدبب قد يكون أكبر من الضغط الذي يؤثر به قدم فيل على الأرض؛
• لأن مساحة الكعب المدبب صغيرة للغاية.
• فالمهم ليس وزن الجسم وحده بل وزنه موزعًا على مساحة التلامس.

(اعتبر عجلة الجاذبية الأرضية \(g = 10 m/s^{2}\))

(القوة ثابتة، والمساحة الأصغر تعطي الضغط الأكبر).

إذا دفعت قطعة من الفلين تحت سطح الماء ثم تركتها فستجد أنها ترتفع إلى السطح مرة ثانية، وهذا يوضح أن الماء يدفع قطعة الفلين المغمورة بقوة إلى أعلى، وهذه القوة تنشأ عن فرق ضغط الماء على جانبي القطعة.

والمشاهدات والتجارب تبين أن:

• عند أي نقطة في باطن السائل يمكن أن يؤثر الضغط في أي اتجاه.
• واتجاه القوة الناشئة عن الضغط على أي سطح يكون عموديًا على هذا السطح، سواء كان السطح جدار الإناء أو سطح جسم مغمور.
• كلما زاد عمق السائل زاد الضغط.

• وكيف نفسر ذلك؟
• إذا تصورنا حجمًا من السائل في موضع معين فهو في حالة اتزان، يؤثر عليه وزنه لأسفل وتؤثر عليه قوة ناشئة عن ضغط السائل المحيط به.
• ولو لم يوضع جسم مكان هذا الحجم من السائل لظل في اتزان؛
• فالقوة الناتجة عن الضغط تتزن مع الوزن.

لحساب الضغط نفترض وجود لوح أفقي (X) مساحته A (m²) على عمق h (m) تحت سطح سائل كثافته \(\rho \left(\dfrac{\,\text{kg}}{m^{3}}\right)\)، ويعمل هذا اللوح كقاعدة لعمود من السائل ارتفاعه h ومساحة مقطعه A.

الخطوة 1: القوة التي يؤثر بها عمود السائل على اللوح تساوي وزن عمود السائل (لأن السائل غير قابل للانضغاط).

الخطوة 2: حجم عمود السائل = A h ، وكتلته m = ρ A h ، ووزنه:

\[\begin{gathered}F = m g = \rho A h g\end{gathered}\]

الخطوة 3: يتعين ضغط السائل P على اللوح من العلاقة:

\[\begin{gathered}P = \dfrac{F}{A} = \dfrac{\rho A h g}{A} =\;\color{#15803d}{\mathbf{\rho g h}}\end{gathered}\]

• وهذا هو الضغط الناشئ عن عمود السائل وحده.
• أما إذا أخذنا في الاعتبار أن سطح السائل الخارجي معرض للهواء الجوي الذي ضغطه Pₐ فإن الضغط الكلي عند نقطة في باطن السائل على عمق h يتعين من العلاقة:

\[\begin{gathered}P = P_{a} + \rho g h\end{gathered}\]

وتوضح هذه العلاقة أن ضغط السائل عند نقطة في باطنه:

• يزداد بزيادة عمق النقطة (h) تحت سطح السائل.
• يزداد بزيادة كثافة السائل (ρ) عند نفس العمق.
• لا يتوقف على مساحة قاعدة الإناء ولا على شكله ولا على كمية السائل الكلية؛ فهو يتوقف على العمق والكثافة وعجلة الجاذبية والضغط الجوي فقط.

1) جميع النقط التي تقع في مستوى أفقي واحد في باطن السائل الساكن لها نفس الضغط. لأن ρ و h و Pₐ متساوية لها جميعًا.

• 2) الأواني المستطرقة (Connecting Vessels): السائل الذي يملأ إناءً متعدد الأجزاء يرتفع في هذه الأجزاء بنفس المقدار بغض النظر عن أشكالها الهندسية، بشرط أن تكون قاعدة الإناء في مستوى أفقي.
• ولهذا فإن مستوى سطح البحر واحد لكل البحار المتصلة ببعضها، ويعتمد على هذه الخاصية استخدام ميزان البناء (الميزان المائي).

3) السدود: يصمَّم جسم السد بحيث يزداد سُمك السد عند قاعدته ليتحمل الضغط المتزايد مع زيادة العمق.

• 4) الغواص: يلبس الغواص بدلة غطس وخوذة تحميه من الضغط الكبير في الأعماق.
• وفي الأعماق القليلة يلجأ إلى نفخ الهواء في جيوبه الأنفية لمعادلة الضغط الخارجي، وفي الأعماق الكبيرة (مئات الأمتار) تُنفخ بدلة الغطس بالهواء وتحمي الخوذة رأس الغواص من الضغط الشديد.

(الضغط الجوي \[\begin{gathered}P_{a} = 1.013 \times 10^{5} \,\text{Pa}\end{gathered}\] ، \(g = 10 m/s^{2}\))

• نأخذ أنبوبة على شكل حرف U (ذات شعبتين) تحتوي على كمية مناسبة من الماء، ثم نضيف إلى أحد فرعيها (الأيسر مثلًا) كمية من الزيت حتى يصل سطح الزيت إلى مستوى معين.
• الماء والزيت لا يمتزجان، ويكون بينهما سطح فاصل A.
• نفرض النقطة B في الفرع الآخر في المستوى الأفقي نفسه للسطح الفاصل A (داخل الماء).

• ارتفاع الزيت فوق السطح الفاصل: h₁ وكثافته ρ₁
• ارتفاع الماء في الفرع الآخر فوق نفس المستوى: h₂ وكثافته ρ₂

النقطتان A و B تقعان في مستوى أفقي واحد داخل الماء المتصل، فضغطهما متساو:

\[\begin{gathered}P_{a} + \rho _{1} g h_{1} = P_{a} + \rho _{2} g h_{2}\end{gathered}\]

ومنها:

\[\begin{gathered}\rho _{1} h_{1} = \rho _{2} h_{2}\end{gathered}\]

ومن هذه العلاقة يمكن تعيين الكثافة النسبية للزيت عمليًا بقياس h₁ و h₂ فقط:

الكثافة النسبية للزيت = \(\dfrac{\rho _{1}}{\rho}\)ماء = \(\dfrac{h_{2}}{h_{1}}\)

ومنها يمكن حساب كثافة الزيت: \[\begin{gathered}\rho _{1} = \dfrac{\rho _{2} h_{2}}{h_{1}}\end{gathered}\].

• مثال 1: صُب زيت في أحد فرعي أنبوبة U بها ماء فارتفع عمود الزيت 25 cm فوق السطح الفاصل.
• احسب ارتفاع الماء فوق السطح الفاصل في الفرع الآخر (كثافة الزيت \(800 \,\text{kg}/m^{3}\)).

الحل: \[\begin{gathered}h_{2} = \dfrac{\rho _{1} h_{1}}{\rho _{2}} = \dfrac{800 \times 25}{1000} =\;\color{#15803d}{\mathbf{20 \,\text{cm}}}\end{gathered}\].

• مثال 2 (تعيين كثافة نسبية): في تجربة لتعيين الكثافة النسبية لزيت وُجد أن ارتفاع الزيت فوق السطح الفاصل 22.5 cm وارتفاع الماء فوق المستوى نفسه 18 cm.
• احسب كثافة الزيت وكثافته النسبية.

الحل: الكثافة النسبية = \[\begin{gathered}\dfrac{h_{2}}{h_{1}} = \dfrac{18}{22.5} =\;\color{#15803d}{\mathbf{0.8}}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\rho = 0.8 \times 1000 =\;\color{#15803d}{\mathbf{800 \,\text{kg}/m^{3}}}\end{gathered}\].

• مثال 3: أنبوبة U بها ماء، سُكب في أحد فرعيها زئبق (كثافته \(13600 \,\text{kg}/m^{3}\)) حتى كان ارتفاعه فوق السطح الفاصل 2 cm.
• احسب ارتفاع الماء في الفرع الثاني فوق المستوى نفسه.

• الحل: \[\begin{gathered}\rho _{1} h_{1} = \rho _{2} h_{2} \\[4pt] \therefore\; h_{2} = \dfrac{13600 \times 2}{1000} =\;\color{#15803d}{\mathbf{27.2 \,\text{cm}}}\end{gathered}\].
• (لأن الزئبق أكثف 13.6 مرة).

• يحيط بالأرض غلاف غازي سميك هو الغلاف الجوي، ويؤثر الهواء بوزنه على كل ما يوجد على سطح الأرض.
• الضغط الجوي هو الضغط الناشئ عن وزن عمود الهواء المؤثر على وحدة المساحات عند نقطة ما فوق سطح الأرض.
• وكلما ارتفعنا عن سطح الأرض قل ارتفاع عمود الهواء فوقنا وبالتالي يقل الضغط الجوي (وتقل كثافة الهواء أيضًا).

• أخذ العالم تورشيلي أنبوبة زجاجية طولها نحو متر، مغلقة من أحد طرفيها، وملأها تمامًا بالزئبق، ثم نكّسها في حوض به زئبق.
• فلاحظ أن سطح الزئبق في الأنبوبة انخفض إلى مستوى معين بحيث كان الارتفاع العمودي له فوق سطح الزئبق في الحوض نحو 0.76 m (76 cm) عند سطح البحر.
• ويكون الحيز فوق الزئبق في الأنبوبة مفرغًا (إلا من قليل من بخار الزئبق الذي يمكن إهمال ضغطه)، ويسمى هذا الحيز فراغ تورشيلي.

تفسير التجربة:

• نأخذ نقطتين A و B في مستوى أفقي واحد، النقطة A خارج الأنبوبة عند سطح الزئبق في الحوض (يؤثر عليها الضغط الجوي)، والنقطة B داخل الأنبوبة عند نفس المستوى.
• ضغط الزئبق عند B يساوي الضغط عند A (نقطتان في مستوى أفقي واحد في السائل نفسه)، وبما أن الفراغ فوق الزئبق لا ضغط له فإن:

Pₐ = ρ g h

• أي أن الضغط الجوي يكافئ الضغط الناشئ عن وزن عمود من الزئبق ارتفاعه نحو 0.76 m ومساحة مقطعه متر مربع واحد (عند صفر سيلزيوس).
• ويسمى هذا الجهاز البارومتر الزئبقي البسيط، وهو جهاز لقياس الضغط الجوي.

• ويتضح من التجربة أن الارتفاع الرأسي لعمود الزئبق فوق مستوى سطح الزئبق في الحوض يظل ثابتًا سواء كانت الأنبوبة في وضع رأسي أو مائل؛
• فإذا أُميلت الأنبوبة زاد طول عمود الزئبق داخلها لكن ارتفاعه الرأسي يبقى ثابتًا.

الضغط الجوي المعتاد (المعياري):

• هو ضغط الهواء مقاسًا عند سطح البحر في درجة صفر سيلزيوس، ويساوي ضغط عمود من الزئبق ارتفاعه 0.76 m.
• ويُعرَّف معدل الضغط ودرجة الحرارة (STP) بأنه الضغط الذي يساوي 0.76 m Hg عند درجة حرارة 0°C، وسيتكرر هذا المصطلح كثيرًا عند دراسة قوانين الغازات.

ونظرًا لأن كثافة الزئبق عند 0°C تساوي \(13595 \,\text{kg}/m^{3}\) وعجلة الجاذبية \(9.8 m/s^{2}\) فإن الضغط الجوي المعتاد:

\[\begin{gathered}1 \,\text{atm} = \dfrac{0.76 \times 13595 \times 9.8 \approx 1.013 \times 10^{5} N}{m^{2}}\end{gathered}\]

وحدات قياس الضغط الجوي في النظام الدولي هي وحدات الضغط نفسها \(\left(\dfrac{N}{m^{2}}\right)\)، وتستخدم وحدات أخرى:

ويعادل الضغط الجوي المعتاد نحو \(\dfrac{1.013 \times 10^{5} N}{m^{2}}\)، أي أكثر من 10 أطنان على المتر المربع الواحد.

لماذا لا نشعر بتأثير هذا الضغط الهائل على أجسامنا؟

• لأن أجسامنا تحتوي على سوائل وغازات ضغطها الداخلي يتزن مع الضغط الجوي الخارجي، فتتساوى القوتان المؤثرتان على جدران الجسم من الداخل والخارج.

• يتوقف ارتفاع عمود الزئبق على الضغط الجوي وعلى كثافة السائل المستخدم (وبالتالي درجة حرارته) وعجلة الجاذبية فقط \[\begin{gathered}\left(h = \dfrac{P_{a}}{\rho}g\right)\end{gathered}\].
• أما العوامل التي لا تؤثر فيه:

• مساحة مقطع الأنبوبة (واسعة كانت أم ضيقة).
• ميل الأنبوبة (يتغير طول العمود ولا يتغير ارتفاعه الرأسي).
• كمية الزئبق في الحوض.
• طول الجزء من الأنبوبة الذي يعلو الزئبق (ما دام فيه فراغ).

لماذا يُستخدم الزئبق؟

• لأنه سائل شديد الكثافة \((13600 \,\text{kg}/m^{3})\) فيكفي عمود ارتفاعه 76 cm فقط لموازنة الضغط الجوي.
• ولو استُخدم الماء لبلغ ارتفاع العمود نحو 10.3 m وهذا يصعب استعماله عمليًا.
• كما أن بخار الزئبق ضغطه صغير جدًا يمكن إهماله.

معلومة إضافية (إثرائية):

• كلما ارتفعنا عن سطح الأرض قل ارتفاع عمود الهواء فوقنا فيقل الضغط الجوي.
• وعلى جانبي طبلة الأذن يتزن الضغط الخارجي مع الضغط الداخلي داخل الجسم.
• وعندما يقل الضغط الخارجي نشعر بتوتر في الطبلة لأن الضغط الداخلي يدفعها قليلًا إلى الخارج.
• ويمكن معادلة هذا الضغط بالتحكم في كمية الهواء في قناة أستاكيوس (Eustachian Tube) بالبلع أو مضغ اللبان.

المانومتر

• جهاز يستخدم لقياس الفرق بين ضغط غاز محبوس والضغط الجوي.
• وهو عبارة عن أنبوبة ذات شعبتين على شكل حرف U تحتوي على كمية من سائل مناسب كثافته معروفة (الزئبق أو الماء أو الزيت).
• تتصل إحدى الشعبتين بمستودع الغاز المراد قياس ضغطه، والشعبة الأخرى مفتوحة للهواء الجوي.
• وتتيح الأنبوبة أن يرتفع سطح السائل في إحدى الشعبتين وينخفض في الأخرى.

الحالة الأولى: ضغط الغاز أكبر من الضغط الجوي.

• يرتفع سطح السائل في الفرع الحر (المفتوح) ويهبط في الفرع المتصل بالمستودع.
• نأخذ نقطتين A و B في مستوى أفقي واحد في السائل نفسه (A عند سطح السائل في الفرع المتصل بالغاز، B في الفرع الحر على نفس المستوى):

\[\begin{gathered}P = P_{a} + \rho g h\end{gathered}\]

حيث P ضغط الغاز، و ρ g h ضغط عمود السائل في الفرع الحر فوق النقطة B وهو فرق الضغط بين الغاز والهواء الجوي.

الحالة الثانية: ضغط الغاز أقل من الضغط الجوي. يكون سطح السائل في الفرع الحر أدنى من سطح السائل في الفرع المتصل بالمستودع، ويكون:

\[\begin{gathered}P = P_{a} - \rho g h\end{gathered}\]

وفي كثير من التطبيقات العلمية لا يكون ضروريًا معرفة الضغط المطلق للغاز بل يكفي قياس فرق الضغط:

\[\begin{gathered}\Delta P = P - P_{a} = \rho g h\end{gathered}\]

فبمعرفة كثافة السائل ρ وفرق الارتفاع h بين سطحي السائل في الشعبتين وعجلة الجاذبية g نحسب ΔP، وبمعرفة الضغط الجوي نحسب ضغط الغاز.

ما الذي يحدد السائل المستخدم في المانومتر؟

• يتحدد حسب مقدار فرق الضغط المراد قياسه: للفروق الصغيرة نستخدم سائلًا خفيفًا (كالماء أو الزيت) ليكون الفرق في الارتفاع كبيرًا ومحسوسًا، وللفروق الكبيرة نستخدم سائلًا كثيفًا كالزئبق حتى لا يكون الجهاز طويلًا بصورة مبالغ فيها.
• كما يجب ألا يتفاعل السائل مع الغاز أو يمتزج به، وألا يتبخر بسهولة.

المقارنة بين البارومتر والمانومتر:

(الضغط الجوي = \[\begin{gathered}76 \,\text{cm} \,\text{Hg} = 1.013 \times 10^{5} \,\text{Pa}\end{gathered}\])

أولًا: قياس ضغط الدم.

• الدم سائل لزج يُضَخ خلال نظام معقد من الشرايين والأوردة بواسطة تأثير مضخة هي القلب، وانسياب الدم في الجسم يكون عادةً هادئًا؛
• فإذا أصبح مضطربًا صحبه ضجيج، ويعد صاحبه مريضًا.
• وعند قياس ضغط الدم نحصل على قيمتين:

• الضغط الانقباضي (Systolic): وفيه يكون ضغط الدم بالشريان في أقصى قيمة، ويحدث عندما تتقلص عضلة القلب فيندفع الدم من البطين الأيسر إلى الأورطي (الأبهر) ومن هناك إلى الشرايين.
• الضغط الانبساطي (Diastolic): وفيه يقل ضغط الدم بالشريان إلى أقل ما يمكن عند انبساط عضلة القلب.

وفي الإنسان المتمتع بصحة جيدة يكون الضغط الانقباضي نحو 120 Torr والانبساطي نحو 80 Torr.

• مثال: عبّر عن ضغط الدم الانقباضي (120 Torr) بالباسكال: \[\begin{gathered}P = 0.12 \times 13600 \times 9.8 =\;\color{#15803d}{\mathbf{1.6 \times 10^{4} \,\text{Pa}}}\end{gathered}\].
• أما الانبساطي (80 Torr) فهو \[\begin{gathered}0.08 \times 133280 \approx \;\color{#15803d}{\mathbf{1.07 \times 10^{4} \,\text{Pa}}}\end{gathered}\].

ثانيًا: ضغط هواء إطار السيارة.

• يمتلئ إطار السيارة بالهواء تحت ضغط عالٍ فتكون مساحة التماس مع الطريق أقل ما يمكن.
• أما إذا امتلأ الإطار تحت ضغط منخفض فإن مساحة التماس بين الإطار والطريق تزداد ويؤدي ذلك إلى زيادة الاحتكاك وسخونة الإطار.
• ويقاس ضغط الهواء في الإطار بمقياس خاص لضغط الهواء.

• مثال: مقياس ضغط إطار قرأ 2.2 × 10⁵ Pa (ضغط زائد عن الجوي).
• الضغط المطلق للهواء = \[\begin{gathered}2.2 \times 10^{5} + 1.013 \times 10^{5} = 3.213 \times 10^{5} \,\text{Pa}\end{gathered}\] ، أي \[\begin{gathered}\dfrac{3.213}{1.013} =\;\color{#15803d}{\mathbf{3.17 \,\text{atm}}}\end{gathered}\] تقريبًا.

ثالثًا: ضغط السوائل في مجال الطب والصحة العامة (للمناقشة):

1. لماذا نضع كيس الهواء في جهاز قياس الضغط حول العضد والذراع في وضع مريح في مستوى القلب؟ لأن ضغط الدم يتغير بتغير الارتفاع عن القلب (بمقدار ρ g h) كما يحدث في أي سائل؛ فإذا كان الذراع أعلى من القلب قلّت القراءة، وإذا كان أسفله زادت. ووضع الذراع في مستوى القلب يلغي أثر فرق الارتفاع فتكون القراءة صحيحة.
2. لماذا يزيد الجلوس لفترات طويلة من خطر الإصابة بجلطات الساق؟ لأن الدم في الساقين يكون عند مستوى أقل بكثير من القلب فيزداد ضغطه (ρ g h)، ويقل نشاط عضلات الساق التي تساعد في دفع الدم في الأوردة، فيبطؤ تدفق الدم ويزداد احتمال تجلطه. النصائح: الحركة والمشي كل فترة، تحريك القدمين والساقين، رفع الساقين أثناء الراحة، شرب كمية كافية من الماء، وتجنب الملابس الضيقة.

لنأخذ سائلًا في إناء زجاجي مزود بمكبس في أعلاه. الضغط عند نقطة A في باطن السائل على عمق h يساوي:

\[\begin{gathered}P = P_{0} + \rho g h\end{gathered}\]

حيث P₀ هو الضغط عند سطح السائل تحت المكبس مباشرة، وينتج عن الضغط الجوي والضغط الناشئ عن وزن المكبس أو القوة المؤثرة عليه.

فإذا زدنا الضغط على المكبس بمقدار ΔP (بوضع ثقل إضافي عليه مثلًا) فإن المكبس لا يتحرك إلى الداخل لأن السائل غير قابل للانضغاط، لكن الضغط عند سطح السائل تحت المكبس يزداد بمقدار ΔP، ويزداد الضغط عند النقطة A (وعند كل نقطة أخرى) بالمقدار نفسه فيصبح:

\[\begin{gathered}P = P_{0} + \Delta P + \rho g h\end{gathered}\]

فإذا زاد الضغط إلى حد معين يمكن أن ينكسر الإناء. وقد صاغ العالم الفرنسي باسكال هذه النتيجة على النحو الآتي:

قاعدة باسكال:

• عندما يؤثر ضغط على سائل محبوس في إناء فإن الضغط ينتقل بتمامه إلى جميع أجزاء السائل، كما ينتقل إلى جدران الإناء المحتوي على السائل.

من أهم تطبيقات قاعدة باسكال: المكبس الهيدروليكي وفرامل السيارات. يتركب المكبس الهيدروليكي من:

• المكبس الصغير ومساحة مقطعه a،
• المكبس الكبير ومساحة مقطعه A،
• ويمتلئ الحيز بين المكبسين بسائل مناسب (زيت غالبًا).

فكرة العمل:

• نؤثر بقوة صغيرة f على المكبس الصغير فيتولد ضغط \(P = \dfrac{f}{a}\) في السائل.
• وطبقًا لقاعدة باسكال ينتقل هذا الضغط بتمامه خلال السائل إلى السطح السفلي للمكبس الكبير.
• وعند الاتزان (المكبسان في مستوى أفقي واحد) يكون الضغط المؤثر على المكبسين له نفس القيمة:

\[\begin{gathered}\dfrac{f}{a} = \dfrac{F}{A}\end{gathered}\] ومنها \[\begin{gathered}F = f \left(\dfrac{A}{a}\right)\end{gathered}\]

حيث F القوة المؤثرة على المكبس الكبير. ونلاحظ أن F أكبر بكثير من f إذا كانت A أكبر بكثير من a.

الفائدة الآلية (Mechanical Advantage): ويرمز لها بالرمز M.A. وهي:

\[\begin{gathered}M.A. = \dfrac{F}{f} = \dfrac{A}{a}\end{gathered}\]

• أي أن الفائدة الآلية للمكبس الهيدروليكي تتعين بنسبة مساحة مقطع المكبس الكبير إلى مساحة مقطع المكبس الصغير.
• وإذا كانت المكبسان أسطوانيين دائريين فإن \[\begin{gathered}M.A.
• = \left(\dfrac{D}{d}\right)^{2} = \left(\dfrac{R}{r}\right)^{2}\end{gathered}\].

العلاقة بين المسافتين:

• إذا تحرك المكبس الصغير إلى أسفل مسافة رأسية y₁ تحت تأثير القوة f فإن المكبس الكبير يتحرك إلى أعلى مسافة رأسية y₂.
• وبما أن السائل غير قابل للانضغاط فإن الحجم المزاح من تحت الصغير يساوي الحجم المرتفع تحت الكبير: a y₁ = A y₂.
• والشغل المبذول على أي من المكبسين = القوة × الإزاحة، وتبعًا لقانون بقاء الطاقة وبفرض أن المكبس مثالي (كفاءته 100%) يكون الشغل المبذول في الحالتين متساويًا:

f y₁ = F y₂ ومنها \[\begin{gathered}\dfrac{F}{f} = \dfrac{y_{1}}{y_{2}}\end{gathered}\]

وهذا يدل على أن الفائدة الآلية يمكن التعبير عنها أيضًا بالنسبة \(\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\):

\[\begin{gathered}M.A. = \dfrac{F}{f} = \dfrac{A}{a} = \dfrac{y_{1}}{y_{2}}\end{gathered}\]

نتيجة مهمة:

• المكبس الهيدروليكي يضاعف القوة ولكنه لا يضاعف الشغل أو الطاقة؛
• فما نربحه في القوة نخسره في المسافة.
• فالمكبس الصغير يتحرك مسافة كبيرة ليتحرك الكبير مسافة صغيرة.

معلومة إضافية (إثرائية):

1. الفرملة الهيدروليكية للسيارة: يستخدم نظام الفرملة سائلًا وسيطًا (سائل الفرامل). عند الضغط على دواسة الفرامل بقوة بسيطة يتولد ضغط في أسطوانة الفرملة الرئيسية (العمومية) وينتقل هذا الضغط خلال السائل في خط الفرملة إلى مكابس أسطوانات فرملة العجلات، فتدفع حذاء الفرملة (Brake Shoes) إلى الخارج فيضغط على جسم الفرملة (طنبورة الفرملة) مولدًا قوة احتكاك كبيرة توقف العجلة وبالتالي السيارة. ويسمى هذا النوع فرامل الطنبورة (Drum Brake) وتستخدم في العجلات الخلفية. أما في الأمامية فيستخدم نظام القرص (Disc Brake) حيث تضغط مخدات الفرامل (Brake Pads) على القرص فينشأ احتكاك يوقف العجلة. وتكون المسافة التي يتحركها حذاء الفرملة صغيرة لأن القوة كبيرة.
2. الرافعة الهيدروليكية: تستخدم سائلًا لرفع السيارة في محطات الخدمة.
3. الحفار الهيدروليكي (الكاتربيلر): يعتمد على قاعدة باسكال في تحريك ذراعه الثقيلة.

\[\begin{gathered}(g = 10 m/s^{2})\end{gathered}\]

• لماذا لا نشعر بالضغط الجوي؟ لأن الضغط داخل أجسامنا يتزن مع الضغط الجوي الخارجي.
• لماذا يلبس الغواص بدلة الغطس؟ لأن الضغط يزداد بالعمق \[\begin{gathered}(P = P_{a} + \rho g h)\end{gathered}\].
• لماذا تُبنى السدود أسمك عند القاعدة؟ لأن الضغط يزداد بزيادة العمق فتحتاج القاعدة لتحمل قوة أكبر.
• لماذا يتساوى مستوى السائل في الأواني المستطرقة؟ لأن الضغط عند نقطتين في مستوى أفقي واحد في السائل الساكن متساوٍ.

أولًا: التعاريف والمفاهيم الأساسية

• الضغط عند نقطة (P): القوة المؤثرة عموديًا على وحدة المساحات المحيطة بتلك النقطة، ووحدته \(\dfrac{N}{m^{2}}\) (باسكال).
• جميع النقط التي تقع في مستوى أفقي واحد في باطن سائل ساكن لها نفس الضغط.
• الضغط الجوي المعتاد: هو الضغط الناشئ عن وزن عمود الهواء المؤثر على وحدة المساحات عند سطح البحر (يكافئ عمود زئبق ارتفاعه 0.76 m عند 0°C)، ووحداته: باسكال \(\left(\dfrac{N}{m^{2}}\right)\)، بار، تور (mm Hg).
• المانومتر: جهاز يستخدم لقياس الفرق بين ضغط غاز محبوس والضغط الجوي.
• قاعدة باسكال: عندما يؤثر ضغط على سائل محبوس في إناء فإن الضغط ينتقل بتمامه إلى جميع أجزاء السائل كما ينتقل إلى جدران الإناء.

ثانيًا: القوانين والعلاقات المهمة

• الضغط: \(P = \dfrac{F}{A}\)
• الضغط عند نقطة في باطن سائل معرض للهواء: \[\begin{gathered}P = P_{a} + \rho g h\end{gathered}\]
• اتزان سائلين في أنبوبة U: \[\begin{gathered}\rho _{1} h_{1} = \rho _{2} h_{2}\end{gathered}\]
• الضغط الجوي: Pₐ = ρ g h ؛ \[\begin{gathered}1 \,\text{atm} = 760 \,\text{Torr} = 1.013 \times 10^{5} \,\text{Pa}\end{gathered}\]
• المانومتر: ΔP = ρ g h
• المكبس الهيدروليكي: \[\begin{gathered}\dfrac{f}{a} = \dfrac{F}{A}\end{gathered}\]
• الفائدة الآلية: \[\begin{gathered}M.A. = \dfrac{F}{f} = \dfrac{A}{a} = \dfrac{y_{1}}{y_{2}}\end{gathered}\]