كيف تستخدم هذه المراجعة؟
تجمع هذه المراجعة التعريفات والقواعد والأمثلة الأساسية من شروح المسار. ابدأ بالموضوع الذي تحتاج مراجعته، ثم افتح شرحه الكامل عند الحاجة، وبعد ذلك حل الاختبارات الشاملة المرتبطة بهذه المراجعة. تحتوي هذه الاختبارات موضوعات من أكثر من درس، لذلك جمعت لها هنا شرحًا من وحدات المسار كلها.
في السؤال المصور اقرأ عنوان الشكل، والتسميات، ومفتاح الرموز، ووحدات المحاور أو القياس. حدد ما تعرضه الصورة فعليًا قبل الاستنتاج، واربط الملاحظة بالقانون أو المفهوم المناسب. وفي الجداول قارن قيمًا لها الوحدات نفسها ولا تخلط بين السبب والنتيجة.
المنطق الرياضي والبرهان
يبدأ اختبار التحصيلي في الرياضيات غالبًا بأسئلة عن التبرير والبرهان؛ لأنها اللغة التي تُكتب بها الهندسة كلها. في هذا الدرس نتعلم كيف نكوّن التخمينات ونختبرها، وكيف نحكم على صواب العبارات المركبة والشرطية، وكيف نستعمل قوانين المنطق والخصائص الجبرية لكتابة برهان صحيح.
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|
| ص | ص | ص | ص | ص | ص |
| ص | خ | خ | ص | خ | خ |
| خ | ص | خ | ص | ص | خ |
| خ | خ | خ | خ | ص | ص |
اكتب المعاكس الإيجابي للعبارة «إذا كان المضلع سداسيًا فإن له ست زوايا» وحدد قيمة صوابه.
- ننفي النتيجة ونجعلها فرضًا، وننفي الفرض ونجعله نتيجة.
- «إذا لم يكن للمضلع ست زوايا فإنه ليس سداسيًا».
التوازي والتعامد
التوازي والتعامد من أكثر موضوعات الهندسة حضورًا في التحصيلي، وتأتي أسئلته في صورتين: هندسية تعتمد على الزوايا الناتجة عن قاطع لمستقيمين متوازيين، وإحداثية تعتمد على الميل ومعادلة المستقيم.
| نوع الزوجين | أمثلة من الشكل | العلاقة عند التوازي |
|---|---|---|
| متناظرتان | 1 و 5، 2 و 6، 3 و 7، 4 و 8 | متطابقتان |
| متبادلتان داخليًا | 3 و 6، 4 و 5 | متطابقتان |
| متبادلتان خارجيًا | 1 و 8، 2 و 7 | متطابقتان |
| داخليتان في جهة واحدة (متحالفتان) | 3 و 5، 4 و 6 | متكاملتان (مجموعهما 180°) |
قطع قاطعٌ مستقيمين متوازيين، فكانت زاويتان داخليتان في جهة واحدة قياساهما (4x + 20)° و (2x + 40)°. أوجد x.
- المتحالفتان متكاملتان: 6x + 60 = 180.
- x = 20، فالزاويتان 100° و 80°.
المثلثات والتطابق
المثلث أبسط المضلعات وأهمها، وعليه تُبنى معظم براهين الهندسة. يركز التحصيلي في هذا الدرس على مجموع الزوايا والزاوية الخارجية، وحالات التطابق، والمثلث المتطابق الضلعين، والقطع الخاصة في المثلث ونقاط تلاقيها، والمتباينات في المثلث.
| حسب الزوايا | حسب الأضلاع |
|---|---|
| حاد الزوايا: جميع زواياه أقل من 90° | مختلف الأضلاع: لا يوجد ضلعان متطابقان |
| قائم الزاوية: إحدى زواياه 90° | متطابق الضلعين: ضلعان على الأقل متطابقان |
| منفرج الزاوية: إحدى زواياه أكبر من 90° | متطابق الأضلاع: أضلاعه الثلاثة متطابقة وكل زاوية 60° |
زاوية الرأس في مثلث متطابق الضلعين 40°. ما قياس كل من زاويتي القاعدة؟
- (180 − 40) ÷ 2
الأشكال الرباعية والتشابه والتحويلات الهندسية
يجمع هذا الدرس ثلاثة موضوعات مترابطة: المضلعات والأشكال الرباعية وخصائصها، والتشابه الذي يربط بين أشكال متماثلة في الصورة مختلفة في الحجم، والتحويلات الهندسية التي تنقل الأشكال في المستوى الإحداثي.
| الشكل | أهم خصائصه |
|---|---|
| متوازي الأضلاع | كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان، والزوايا المتقابلة متطابقة، والمتتالية متكاملة، والقطران ينصف كل منهما الآخر |
| المستطيل | متوازي أضلاع زواياه قائمة، وقطراه متطابقان |
| المعيّن | متوازي أضلاع أضلاعه متطابقة، وقطراه متعامدان وينصفان زواياه |
| المربع | مستطيل ومعيّن معًا: قطراه متطابقان ومتعامدان |
| شبه المنحرف | ضلعان متقابلان فقط متوازيان (القاعدتان). القطعة المتوسطة توازي القاعدتين وطولها نصف مجموعهما |
| شبه المنحرف المتطابق الساقين | زاويتا كل قاعدة متطابقتان، وقطراه متطابقان |
| الطائرة الورقية | زوجان من الأضلاع المتجاورة المتطابقة، قطراها متعامدان، وزوج واحد فقط من الزوايا المتقابلة متطابق |
في متوازي الأضلاع PQRS: m∠P = (5x − 20)° و m∠R = (3x + 30)°. أوجد m∠Q.
- الزاويتان المتقابلتان متطابقتان: 5x − 20 = 3x + 30 ⇐ x = 25.
- m∠P = 105°.
- ∠Q متتالية معها: 180 − 105.
افتح الشرح الكامل والتدريبات: الأشكال الرباعية والتشابه والتحويلات الهندسية
الدائرة
الدائرة من الموضوعات الثابتة في اختبار التحصيلي، وأسئلتها تدور حول أجزاء الدائرة، والأقواس وأطوالها، والزوايا المركزية والمحيطية، والمماسات، وأطوال القطع الناتجة عن تقاطع الأوتار والقواطع، ومعادلة الدائرة.
| موقع الرأس | قياس الزاوية | أطوال القطع |
|---|---|---|
| على الدائرة (مماس ووتر) | نصف القوس المحصور | — |
| داخل الدائرة (وتران متقاطعان) | نصف مجموع القوسين المقابلين | AE × EB = CE × ED |
| خارج الدائرة (قاطعان أو مماس وقاطع أو مماسان) | نصف الفرق بين القوسين | PA × PB = PC × PD ، و PT2 = PA × PB |
دائرة نصف قطرها 12 سم. أوجد طول القوس المقابل لزاوية مركزية 150°.
- (150 ÷ 360) × 2π × 12
- = (5/12) × 24π
الأعداد الحقيقية والعلاقات والدوال
تُعدّ الدوال لغةَ الرياضيات في وصف العلاقة بين كميتين، وهي من أكثر موضوعات اختبار التحصيلي تكرارًا. في هذا الدرس نراجع مجموعات الأعداد الحقيقية، ثم نميّز بين العلاقة والدالة، ونتعلم إيجاد المجال والمدى، وقراءة التمثيل البياني، والتحويلات الهندسية على الدوال الرئيسة، والعمليات على الدوال وتركيبها.
| المجموعة | الرمز | أمثلة |
|---|---|---|
| الأعداد الطبيعية | N | 1، 2، 3، … |
| الأعداد الكلية | W | 0، 1، 2، 3، … |
| الأعداد الصحيحة | Z | …، -2، -1، 0، 1، 2، … |
| الأعداد النسبية | Q | كل عدد يُكتب على الصورة a/b حيث b ≠ 0، مثل 0.75 و -3/5 و 0.333… |
| الأعداد غير النسبية | I | كسور عشرية غير منتهية وغير دورية، مثل √2 و π |
| الأعداد الحقيقية | R | اتحاد النسبية وغير النسبية |
افتح الشرح الكامل والتدريبات: الأعداد الحقيقية والعلاقات والدوال
المصفوفات
المصفوفة أداة منظمة لتخزين الأعداد في صفوف وأعمدة، وتُستخدم في حل أنظمة المعادلات الخطية وحساب المساحات والتحويلات الهندسية. يركز اختبار التحصيلي على رتبة المصفوفة، والعمليات عليها، والمحددات، والنظير الضربي، وقاعدة كرامر.
| 2 | -1 | 0 |
| 5 | 3 | 7 |
كثيرات الحدود والأعداد المركبة
كثيرات الحدود من أهم الدوال في الرياضيات، ويرتبط حل معادلاتها ارتباطًا وثيقًا بالأعداد المركبة؛ فبعض المعادلات مثل x2 + 1 = 0 ليس لها حلول حقيقية لكن لها حلولًا مركبة.
| المعامل الرئيس موجب | المعامل الرئيس سالب | |
|---|---|---|
| الدرجة زوجية | الطرفان إلى أعلى | الطرفان إلى أسفل |
| الدرجة فردية | يسارًا إلى أسفل ويمينًا إلى أعلى | يسارًا إلى أعلى ويمينًا إلى أسفل |
افتح الشرح الكامل والتدريبات: كثيرات الحدود والأعداد المركبة
الدوال العكسية والجذرية والنسبية
في هذا الدرس نتعرف على الدالة العكسية التي "تلغي" عمل الدالة الأصلية، ثم ندرس دوال الجذر التربيعي ومعادلاتها، وأخيرًا الدوال النسبية وخطوط التقارب. هذه الموضوعات تظهر في التحصيلي غالبًا في صورة قراءة تمثيل بياني أو تحديد مجال ومدى أو إيجاد خطوط تقارب.
| المقارنة | خط التقارب الأفقي |
|---|---|
| n < m | y = 0 |
| n = m | y = (المعامل الرئيس للبسط) ÷ (المعامل الرئيس للمقام) |
| n > m | لا يوجد خط أفقي، وإذا كانت n = m + 1 يوجد خط تقارب مائل نجده بالقسمة |
افتح الشرح الكامل والتدريبات: الدوال العكسية والجذرية والنسبية
المتتابعات والمتسلسلات
تُعدّ المتتابعات والمتسلسلات من الموضوعات الثابتة في اختبار التحصيلي، إذ تأتي أسئلتها غالبًا في صورة إيجاد حدٍّ مجهول، أو حساب مجموع عددٍ من الحدود، أو التمييز بين النمط الحسابي والنمط الهندسي.
| المطلوب | القانون |
|---|---|
| الأساس | d = an − an−1 |
| الحد النوني | an = a1 + (n − 1) d |
| مجموع أول n حدًّا | Sn = n/2 × (a1 + an) = n/2 × [2a1 + (n − 1) d] |
| الوسط الحسابي بين عددين a و b | (a + b) / 2 |
في المتتابعة 7 ، 11 ، 15 ، … أوجد الحد الخامس والعشرين، ثم مجموع أول 25 حدًّا.
- الأساس: d = 11 − 7 = 4.
- الحد: a25 = 7 + (25 − 1) × 4 = 7 + 96 = 103.
- المجموع: S25 = 25/2 × (7 + 103) = 25/2 × 110.
الاحتمالات
الاحتمالات هي الرياضيات التي تقيس فرصة وقوع الأحداث. وتعتمد أسئلة التحصيلي في هذا الباب على مهارتين: العدّ (مبدأ العد والتباديل والتوافيق) لمعرفة عدد النواتج، ثم حساب الاحتمال باستعمال القواعد المناسبة: المتممة والجمع والضرب والاحتمال المشروط.
| المفهوم | متى نستخدمه؟ | القانون |
|---|---|---|
| التباديل | الترتيب مهم (مراكز، أرقام، مقاعد) | P(n, r) = n! / (n − r)! |
| تباديل مع تكرار | ترتيب حروف كلمة فيها حروف مكررة | n! / (n1! × n2! × …) |
| التباديل الدائرية | الجلوس حول طاولة مستديرة | (n − 1)! |
| التوافيق | الترتيب غير مهم (لجان، مجموعات) | C(n, r) = n! / [r! (n − r)!] |
لدى طالب 4 قمصان و 3 سراويل. كم زيًّا مختلفًا؟
- 4 × 3 = 12
الإحصاء
يهتم علم الإحصاء بجمع البيانات وتنظيمها وتمثيلها وتحليلها لاتخاذ قرارات مبنية على الأرقام. وتركز أسئلة التحصيلي على حساب مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت، وقراءة التمثيلات البيانية مثل المدرج التكراري والصندوق وطرفيه، وتطبيق خصائص التوزيع الطبيعي والدرجة المعيارية.
| المقياس | القانون أو التعريف |
|---|---|
| المدى | أكبر قيمة − أصغر قيمة |
| التباين (للمجتمع) | σ2 = Σ(x − μ)2 ÷ n |
| الانحراف المعياري | σ = √التباين |
| المدى الربيعي | IQR = Q3 − Q1 |
| القيمة المتطرفة | أقل من Q1 − 1.5 IQR أو أكبر من Q3 + 1.5 IQR |
للبيانات 4 ، 7 ، 7 ، 9 ، 13 أوجد المتوسط والوسيط والمنوال والمدى والتباين.
- المتوسط = (4 + 7 + 7 + 9 + 13) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8.
- الوسيط = القيمة الثالثة = 7، والمنوال = 7، والمدى = 13 − 4 = 9.
- الانحرافات عن المتوسط: −4 ، −1 ، −1 ، 1 ، 5، ومربعاتها 16 ، 1 ، 1 ، 1 ، 25، ومجموعها 44.
- التباين = 44 ÷ 5 = 8.8، والانحراف المعياري = √8.8 ≈ 2.97.
الدوال المثلثية وقياس الزوايا
تُعدّ الدوال المثلثية من أكثر موضوعات الرياضيات حضورًا في الاختبار التحصيلي، فهي تربط بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع، وتظهر في مسائل الارتفاع والمسافات والحركة الدورية.
| الدالة | التعريف | مقلوبها |
|---|---|---|
| sin θ (الجيب) | المقابل ÷ الوتر | csc θ = الوتر ÷ المقابل |
| cos θ (جيب التمام) | المجاور ÷ الوتر | sec θ = الوتر ÷ المجاور |
| tan θ (الظل) | المقابل ÷ المجاور | cot θ = المجاور ÷ المقابل |
راصد يقف على بعد 40 م من قاعدة مئذنة، ويرى قمتها بزاوية ارتفاع 45°. أوجد ارتفاع المئذنة.
- الارتفاع هو الضلع المقابل، والبعد الأفقي هو المجاور.
- tan 45° = الارتفاع ÷ 40
- الارتفاع = 40 × 1
المتطابقات والمعادلات المثلثية
المتطابقة المثلثية معادلة صحيحة لجميع قيم المتغير التي تكون فيها طرفاها معرّفين، أما المعادلة المثلثية فصحيحة لقيم محددة فقط نبحث عنها.
| النوع | المتطابقات |
|---|---|
| متطابقات المقلوب | csc θ = 1/sin θ ، sec θ = 1/cos θ ، cot θ = 1/tan θ |
| متطابقات النسبة | tan θ = sin θ / cos θ ، cot θ = cos θ / sin θ |
| متطابقات فيثاغورس | sin2θ + cos2θ = 1 ، 1 + tan2θ = sec2θ ، 1 + cot2θ = csc2θ |
| الزاويتان المتتامتان | sin(90° − θ) = cos θ ، cos(90° − θ) = sin θ ، tan(90° − θ) = cot θ |
| الزوجية والفردية | cos(−θ) = cos θ ، sin(−θ) = −sin θ ، tan(−θ) = −tan θ |
بسّط العبارة: cos θ (sec θ − cos θ).
- نوزع: cos θ × (1/cos θ) − cos2θ
- = 1 − cos2θ
افتح الشرح الكامل والتدريبات: المتطابقات والمعادلات المثلثية
تحليل الدوال والتحويلات
تحليل الدالة يعني قراءة خصائصها من قاعدتها أو من تمثيلها البياني: أين تُعرَّف؟ وكيف يتغير منحناها إذا أزحناه أو عكسناه؟ هذه المهارات تظهر في أسئلة التحصيلي بكثرة، وغالبًا ما تُعطى الدالة في صورة رسم بياني يُطلب منك قراءته بدقة.
| النوع | الشرط الجبري | التماثل البياني | أمثلة |
|---|---|---|---|
| زوجية | f(−x) = f(x) | حول محور y | x2، |x|، x4 − 3x2 |
| فردية | f(−x) = −f(x) | حول نقطة الأصل | x3، 1/x، x3 − x |
الدوال الأسية واللوغاريتمية
تصف الدوال الأسية الكميات التي تتضاعف أو تتناقص بنسبة ثابتة، مثل نمو البكتيريا والاستثمار بفائدة مركبة وتحلل المواد المشعة. والدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للأسية، ونستعملها لحل المعادلات التي يكون المجهول فيها في الأس.
| النموذج | الصيغة |
|---|---|
| نمو بنسبة r | y = a(1 + r)t |
| اضمحلال بنسبة r | y = a(1 − r)t |
| فائدة مركبة n مرة سنويًا | A = P(1 + r/n)nt |
| فائدة مركبة مستمرة | A = P·ert |
| عمر النصف T | N = N0(½)t/T |
القطوع المخروطية
القطوع المخروطية منحنيات تنتج عن تقاطع مستوى مع مخروط دائري قائم مزدوج، وهي أربعة: الدائرة، والقطع المكافئ، والقطع الناقص، والقطع الزائد. تُستعمل في تصميم أطباق الاستقبال والمصابيح الأمامية ومدارات الكواكب.
| المعادلة | الاتجاه | البؤرة | الدليل |
|---|---|---|---|
| (y − k)2 = 4p(x − h) | أفقي (يمين إذا p > 0) | (h + p, k) | x = h − p |
| (x − h)2 = 4p(y − k) | رأسي (أعلى إذا p > 0) | (h, k + p) | y = k − p |
أوجد المركز ونصف القطر للدائرة x2 + y2 + 8x − 2y + 8 = 0.
- (x2 + 8x + 16) + (y2 − 2y + 1) = −8 + 16 + 1
- (x + 4)2 + (y − 1)2 = 9
المتجهات والإحداثيات القطبية
المتجه كمية لها مقدار واتجاه، مثل القوة والسرعة والإزاحة، بينما الكمية القياسية لها مقدار فقط مثل الكتلة والزمن.
| التحويل | الصيغ |
|---|---|
| من قطبي إلى ديكارتي | x = r cos θ ، y = r sin θ |
| من ديكارتي إلى قطبي | r = √(x2 + y2) ، tan θ = y/x (مع مراعاة الربع) |
| معادلات | x2 + y2 = r2 |
أوجد الزاوية بين u = ⟨2, −1⟩ و v = ⟨1, 2⟩.
- u · v = 2 − 2 = 0
النهايات
النهاية هي حجر الأساس في التفاضل والتكامل؛ فمنها نعرّف المشتقة وميل المماس، ومنها نصل إلى المساحة تحت المنحنى.
| المقدار | القيمة من الشكل |
|---|---|
| limx→2− f(x) | 3 |
| limx→2+ f(x) | 1 |
| limx→2 f(x) | غير موجودة (3 ≠ 1) |
| f(2) | 2 |
احسب limx→2 (x2 + 3x − 1).
- نعوض مباشرة: 4 + 6 − 1.
الاشتقاق والتكامل
يقوم علم التفاضل والتكامل على فكرتين كبيرتين تبنيان على النهايات: المشتقة التي تقيس معدل التغير اللحظي وميل المماس، والتكامل الذي يحسب المساحة تحت المنحنى. والمدهش أن العمليتين متعاكستان، وهذا ما تنص عليه النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.
| القاعدة | الصيغة | مثال |
|---|---|---|
| الثابت | (c)′ = 0 | (7)′ = 0 |
| القوة | (xn)′ = n xn−1 | (x5)′ = 5x4 |
| الضرب في ثابت | (c f)′ = c f′ | (3x4)′ = 12x3 |
| المجموع والفرق | (f ± g)′ = f′ ± g′ | (x2 − 4x)′ = 2x − 4 |
| الضرب | (f g)′ = f′ g + f g′ | [x(x + 1)]′ = (x + 1) + x = 2x + 1 |
| القسمة | (f/g)′ = (f′ g − f g′) ÷ g2 | (1/x)′ = −1/x2 |
أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x3 − 4x + 1 عند x = 2.
- f(2) = 8 − 8 + 1 = 1، فنقطة التماس (2, 1).
- f′(x) = 3x2 − 4، إذن الميل m = f′(2) = 12 − 4 = 8.
- معادلة المماس: y − 1 = 8(x − 2).
بعد الاختبار
راجع سبب صحة الإجابة وسبب خطأ البدائل، ثم ارجع إلى شرح الموضوع الذي أخطأت فيه. أعد حل السؤال بنفسك دون رؤية الحل، وسجل قاعدة أو ملاحظة قصيرة تفسر الخطأ. إذا كان الخطأ في صورة أو جدول، أعد وصف المعطيات والوحدات قبل الحساب أو الاستنتاج.