2-5-1 الجمع والطرح

• نوحد المقامات ثم نجمع أو نطرح البسطين ونبسط، ومجال الناتج هو المجال المشترك.

a / b + c / d = (ad + bc) ÷ bd

1. نحلل المقامات ونوجد المضاعف المشترك.
2. نضرب بسط كل كسر في ما ينقصه.
3. نجمع أو نطرح بحذر الإشارات.
4. عند الطرح ضع بسط الكسر الثاني بين قوسين.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد 2 ÷ (x − 1) + 3 ÷ (x + 2).
2. الحل:

المقام المشترك (x − 1)(x + 2)

= 2x + 4 + 3x − 3

= 5x + 1

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد x ÷ (x − 2) − 4 ÷ (x² − 2x).
2. الحل:

x2 – 2x = x(x – 2)

x ÷ (x – 2) = x2 ÷ (x(x – 2))

• البسط:

x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)

✍️ أمثلة محلولة

= 3x + 3 + x − 2

= 4x + 1

1. (4x + 1) ÷ ((x − 2)(x + 1)) ، المجال ℝ − {2 ، −1}
2. الأخطاء الشائعة:
3. جمع البسطين والمقامين معًا.
4. نسيان تغيير إشارات البسط عند الطرح.

2-5-2 الضرب

• نحلل البسوط والمقامات ونختصر ثم نضرب، ونستبعد من المجال أصفار المقامات.

(a / b) × (c / d) = ac ÷ bd

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد (x² − 9) ÷ (x + 1) × (x + 1) ÷ (x − 3).
2. الحل:

(x − 3)(x + 3) ÷ (x + 1) × (x + 1) ÷ (x − 3)

= x + 3

المجال ℝ − {−1 ، 3}

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد (x² − 1) ÷ (x² + 2x) × x ÷ (x + 1).
2. الحل:

(x − 1)(x + 1) ÷ (x(x + 2)) × x ÷ (x + 1)

= (x − 1) ÷ (x + 2)

المجال ℝ − {0 ، −2 ، −1}

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد 2x ÷ (x − 3) × (x² − 9) ÷ (4x).
2. الحل:

x(x − 3)(x + 3) ÷ ((x − 3) × 4x)

= (x + 3) ÷ 2

المجال ℝ − {3 ، 0}

1. الأخطاء الشائعة:
2. اختصار حدود وليس عوامل.
3. نسيان استبعاد القيم التي اختصرت.

2-5-3 القسمة

• نضرب في مقلوب المقسوم عليه، ونستبعد من المجال أصفار المقامات وأصفار المقسوم عليه.

(a / b) ÷ (c / d) = (a / b) × (d / c)

• نقلب الكسر الثاني.
• نحلل ونختصر.
• ندوّن أصفار المقسوم عليه ضمن المستبعد.
• علّل نستبعد صفر المقسوم عليه لأن القسمة على دالة قيمتها صفر غير معرفة.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد (x² − 4) ÷ (x + 3) ÷ ((x + 2) ÷ (x² − 9)).
2. الحل:
3. (x − 2)(x + 2) ÷ (x + 3) × (x − 3)(x + 3) ÷ (x + 2)

= (x − 2)(x − 3)

= x² − 5x + 6

المجال ℝ − {−3 ، 3 ، −2}

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد (x² − 9) ÷ x ÷ ((x + 3) ÷ x²).
2. الحل:

(x − 3)(x + 3) ÷ x × x² ÷ (x + 3)

= x(x − 3)

المجال ℝ − {0 ، −3}

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد (1 ÷ x) ÷ (1 ÷ x²).
2. الحل:

(1 ÷ x) × x²

= x

المجال ℝ − {0}

1. الأخطاء الشائعة:
2. قلب الكسر الأول بدل الثاني.
3. نسيان صفر المقسوم عليه.

2-5-4 المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي

• المعكوس الجمعي للدالة f هو −f، والمعكوس الضربي هو 1 ÷ f بشرط f(x) ≠ 0.

f + (-f) = 0

f × (1 ÷ f) = 1

1. المعكوس الجمعي له مجال f نفسه.
2. مجال المعكوس الضربي يستبعد أصفار f أيضًا.
3. المعكوس الضربي لـ f(x) = 0 غير موجود.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x + 1) ÷ (x – 2)

1. .
2. الحل:
3. −(x + 1) ÷ (x − 2) على ℝ − {2}
4. صفر f هو x = −1.
5. (x − 2) ÷ (x + 1) على ℝ − {2 ، −1}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x ÷ (x2 – 1)

1. .
2. الحل:
3. مجال f ℝ − {1 ، −1} وصفره 0.
4. (x² − 1) ÷ x

مجاله ℝ − {0 ، 1 ، −1}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 2 ÷ (x – 3)

1. .
2. الحل:

−2 ÷ (x − 3) على ℝ − {3}

• التحقق:

2 ÷ (x – 3) – 2 ÷ (x – 3) = 0

✓

1. الأخطاء الشائعة:
2. الخلط بين المعكوس الجمعي والمقلوب.
3. نسيان استبعاد أصفار f من مجال مقلوبها.

2-5-5 خواص العمليات

• تحقق العمليات على الكسور الجبرية النسبية خواص الإبدال والتجميع والتوزيع، ويوجد محايد جمعي (0) ومحايد ضربي (1).

f + g = g + f

f × g = g × f

f × (g + h) = f × g + f × h

f + 0 = f ، f × 1 = f

1. تتحقق الخواص عند كل نقطة من المجال المشترك.
2. القسمة والطرح ليستا إبداليتين.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 1 ÷ x

و

g(x) = x ÷ (x + 1)

1. .
2. الحل:

f(2) = 1 / 2 و g(2) = 2 / 3

f + g = 1 / 2 + 2 / 3 = 7 / 6

g + f = 2 / 3 + 1 / 2 = 7 / 6

• الإبدال محقق.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 تحقق من التوزيع عند x = 2 للدوال f = 1 ÷ x و g = x و h = 2.
• الحل:

f(2) = 1 / 2 ، g(2) = 2 ، h(2) = 2

• الطرف الأيمن:

1 / 2 × (2 + 2) = 2

• الطرف الأيسر:

1 / 2 × 2 + 1 / 2 × 2 = 2

محقق ✓

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x + 1) ÷ (x – 2)

1. ؟
2. الحل:

f + 0 = f

f × 1 = f

1. الصفر محايد جمعي والواحد محايد ضربي.
2. الأخطاء الشائعة:
3. اعتبار الطرح إبداليًا.
4. نسيان تحديد المجال المشترك عند التحقق.